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高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数
向量及其线性运算
1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、线性运算：加减法、数乘；
3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、利用坐
fx(x°,y。)
..f(x°x,limoxo
V。)f(xo,yo)
fy(x°,yo)
lim
y
f(x°,yoy)f(xo,yo)
o
6、
方向导数:
f
—cosx
f
—cos苴中
y八
l的方向角。
7、
梯度：zf(x,y),则gradf(x°,yo)
fx(x°,y°)i
fy(x°,yo)j。
8、
全微分：设zf(x,y),则dz—dx
x
—Zdyy
(二)
1、
性质
函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:
2、闭区域上连续函数的性质(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)3、微分法
定义：
复合函数求导：链式法则Z若zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)，则
Z
zu
zvzzu
zv
x
ux
vxyuy
vy
3)
隐函数求导：
，然后解方程(组)
,
('
三)
应用
1、
极值
1)
无条件极值：
求函数zf(x,y)的极值
fx
0
解方程组
fy
O求出所有驻点，对于每一个驻点(x0,y0)，令
Afxx(x°,yo)
,Bfxy(x0,y。),Cfyy(x0,y。)，
①若AC
B2
0,A0,函数有极小值，
若AC
B2
0,A0,函数有极大值；
②若AC
B2
0,函数没有极值；
③若AC
B2
0,不定。
2)条件极值：求函数zf(x,y)在条件(x,y)0下的极值
令：L(x,y)f(x,y)(x,y)Lagrange函数
Lx0
x
解方程组Ly0(x,y)02、
1)
几何应用
曲线的切线与法平面
x(t)曲线
y(t)
则上一点
M（x°,y°,A）（对应参数为to）处的
xxo
yy。
zzo
切线方程为:
x(to)
y(to)
Z(to)
法平面方程为:
x(to)(
xo)
y(to)(yy°)z(t°)(z
Zo)
2）曲面的切平面与法线
曲面:F(x,y,z)
上一点M（xo,yo,zo）处的切平面方程为:
Fx(xo,y°,z°)(xx°)Fy(xo,y°,zo)(yy°)Fz(x°,y°,zo)(zzo)o
法线方程为:
xx°
Fx(xo,yo,z°)
yVozz
Fy(xo,yo,z°)Fz(xo,yo,z°)
第十章
（一）
重积分
二重积分
1、
定义：f（x,y）d
D
lim
o
f(k,k)
1
2、
3、
4、
1)
性质：（6条）
几何意义：曲顶柱体的体积。
计算：
直角坐标
X型区域：D(x,y)1(x)2(x)
f(x,y)dxdyDb
dxa2(X)i(x)f(x,y)dy丫型区域：D(x,y)i(y)x2(y)ydd2(y)
f(x,y)dxdydyf(x,y)dxci(y)D*交换积分次序(课后题)2)极坐标i()2()
f(x,y)dxdyD
(二)三重积分2()df(cos,sin)di()1、定义：
2、性质：
3、计算：
i)直角坐标n
f(x,y,z)dvlim0f(k,k,k)vk
f(x,y,z)dv
dxdyDZ2(x,y)zi(x,y)^"欢f(x,y,z)dvb
dzf(x,y,z)dxdyaDZ投影法“先一后二截面法“先二后-
2)柱面坐标
ysin
xcosf(x,y,z)dvf(cos,sin,z)dddz
zz*球面坐标*
xrsincos
yrsinsin
zrcosf(x,y,z)dv
f(rsincos,rsin
sin,rcos)r2sindrdd
应用曲面S:zf(x,y),(x,y)D的面积:
AD\1(伊(；)2dxdy第十一章曲线积分与曲面积分对弧长的曲线积分n1、定义：Lf(x,y)ds既f(i,i)si
Ui12、性质：
1)L[f(x,y)(x,y)]dsLf(x,y)ds
Lg(x,y)ds.
2)lf(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds.(LL1L2).
L2在L上，若f(x,y)g(x,y),则Lf(x,y)dsLg(x,y)ds.
Ldsl(l为曲线弧L的长度)3、计算：
x(t),设f(x,y)在曲线