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复合函数单调性(讲解练习)
复合函数单调性(讲解练习)
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复合函数单调性(讲解练习)
课题：函数的单调性(二)
复合函数单调性
北京二十二中刘青
教学目标
.
(板书)
引理1
已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)
上是增函数，其值域为(c，d)，
又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数
y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增
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函数.
(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间
.)
证明
在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
),u2=g(x
)即u＜
因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x
)＜g(x
),记u1=g(x
1
1
2
2
1
u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)
上是增函数，所以f(u
)＜f(u
),即f［g(x)］＜f［f(x
)］，
1
2
1
2
故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.
师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢
?
生：.
师：，还需增加一些引理，使得求复合函数的单调区间更容易些
.
(教师可以根据学生情况和时间决定引理
2是否在引理
1的基础上做些改动即可
.建议引
理2
的证明也是改动引理
1的部分证明过程就行了
.)
引理2
已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)
上是减函数，其值域为
(c，d)，
又函数y=f(u)在区间(c,d)
上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)
上是增函
数.
在区间(a,b)
内任取两个数x,x，使a＜x
＜x
＜b.
证明
1
2
1
2
因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以
g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x
2)即
u＞u,且u,u
∈(c,d).
1
2
1
2
因为函数y=f(u)在区间(c,d)
上是减函数，所以f(u
1)＜f(u
2),即f［g(x1)］＜f［f(x
2)］，
故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)
上是增函数.
师：我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了
.为了记忆
方