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定积分01961定积分一、定义? ba dxxf)( 1、注:(1))(xf 叫被积函数, dxxf)( 叫被积表达式, x 叫积分变量, a 叫积分下限 b 叫积分上限(2 )定积分是确定的数值,其值只与被积函数和积分区间有关(3 )按定义: ????? ba ab dxxf dxxf 号) 上下限交换,积分值反()()( (4 )性质: 01???????? ba ba ba dxxg dxxf dxxgxf)()()()( 02??? ba ba dxxfk dxx kf)()( 03??????? bc ba ca dxxf dxxf dxxfbca)()()(, 设: 04??? baab dx 05????? ba dxxfxfba0)(,0)(,则上, 在区间 06??)()()( ),()(,ba dxxg dxxfxgxfba ba ba?????上, 在区间 07 )()()(ba dxxf dxxf ba ba???? 08??上的最大值及最小值在区间分别是函数及baxfmM,)(????? baabM dxxfabm)()()(则 09??上连续, 在积分区间数积分中值公式:如果函 baxf,)(??,使上至少存在一点则在?ba,????? babaabf dxxf) )( )(()(?? 0 10?? 0)(,)(???? dxxfaaxf aa 上为奇函数,则在若??????? aaa dxxf dxxfaaxf 0)(2)(,)( 上为偶函数,则在若二、微积分基本公式 1、积分上限函数记为??? xa dttf)( 定理 1、)()()(xf dttfx xa????????????(积分上限函数的导数等于原函数) 注: 几种情况的求导: )()(xf dttf xa?????????)()()(xf dttf dttf xa ax??????????????????????)()()( )(xxf dttf xa????????????????)()()( )(xxf dttf ax??????????????? ex: ???????? xaxxxxxxfxx dttf cos sin ) sin ()(, sin )(则?1 arctan 1 arctan 22?????????? x xdtt tdx d xa?xxxx dtt xa2 sin )() sin( sin 42222?????????????④?? ba dxxf dx d0)( 三、牛顿—莱布尼茨公式???????? ba ba baaFbFxF dxxf dxxf)()(|)(|)()( 例1、2)0 cos (cos | cos sin 0 0???????πππx xdx 例2、求 dxx?? 201?????? 10 21)1()1( dx x dxx 解:原式 21 210 2|)2 1(|)2 1(xxxx????)112 1(242 12 11 2????????1?例3、 f(x)=1,2 2??xx 求? 30)( dxxf1,4??xx??????? 31 30 10 2)4()2()( dxx dx x dxxf 解: 3 19 |)2 14(|)23 1( 31 210 3?????xxxx 例4、??? 10)(,1 ) 1(dxxfx