概率论基本公式(共12页).doc

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概率论与数理统计基本公式
第一部分 概

1
(2)连续型随机变量函数的分布：
例：设随机变量（X，Y）的密度函数
求，，D(X+Y).
解：①当0≤x≤2时由，得：，当x<0或x>2时，由，所以，
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同理可求得:；
② E(X)=,由对称性同理可求得，E(Y)=7/6。
③因为E(XY)=
所以，cov（X,Y）= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)=-1/36。
④
同理得D(Y)=,所以，=
⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=
12、条件分布：若
13、随机变量的独立性：由条件分布设A={Y≤y},且P{Y≤y}>0,则：
，设随机变量（X,Y）的联合分布概率为F（x,y），边缘分布概率为，若对于任意x、y有：
，即：，则称X和Y独立。
14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为,边缘概率密度函数为，则对于一切使>0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为：，同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密度函数为：，若=几乎处处成立，则称X,Y相互独立。
例：设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：
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，求（1）确定常数c；（2）X,Y的边缘概率密度函数；（3）联合分布函数F(x,y);(4)P{Y≤X};
(5)条件概率密度函数；（6）P{X<2|Y<1}
15、数学期望：（1）离散型：
（2）连续型：，因为并不是每一个函数都能积分，所以并非所有随机变量都有数学期望。
数学期望的性质：① E(CX)=CE(X) ① ③设X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).
例：10个人随机进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X表示有人的房间数，求E(X)(设每个人进入房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立)
附：二项分布b(n,p)和两点分布b(1,p)的另一个关系，仍设一个实验只有两个结果：,且P(A)=p,现在将试验独立进行n次，记为n次试验中结果A出现的次数，则，若记
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其中：
16、方差：(1)
(2)方差性质：①D(CX)=CD(X);②，则：
17、协方差：(1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特别，X,Y独立时，有：cov(X,Y)=0.
（2）协方差性质：①cov(X,X)=D(X);②cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);③cov(C,Y)=0;④cov(,Y)=⑤随机变量和的方差与协方差的关系.
(3)相关系数,性质：①;②若X和Y相互独立，则=0，即X和Y不相关。③若D(X)>0，D(Y)>0，则当且仅当存在常数a，b（），使：
附注：
④设e=E[Y-(,称为用来近似Y的均方差，则：设D(X)>0，D(Y)>0,有：使均方误差达到最小。
18、切比雪夫不等式：设随机变量X的期望E(X)=μ,方差D(X)=,则对于给定任意正数，有：
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19、大数定理：设随机变量X,X,……X……相互独立，且具有相同的期望和方差：
，i=1,2,3……，，则对于任意>0,有：20、中心极限定理；（1）设随机变量X,X,……X……相互独立，服从同一分布，且， i=1,2,3……，则：
一个结论：
(2)棣莫佛—拉普拉斯定理：设随机变量X,X,……X……相互独立，并且都服从参数为p的两点分布，则对任意实数x，有：
第二部分 数理统计
21、由于样本方差（或样本标准差）很好的反应总体方差（或标准差）的信息，因此，当方差未知时，常用去估