高数分部积分法.ppt

高数分部积分法
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分部积分公式 formula of integration by parts
生词
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分部积分法常见类型:
(1)指数函数或三角函数与多项式的乘高数分部积分法
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分部积分公式 formula of integration by parts
生词
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分部积分法常见类型:
(1)指数函数或三角函数与多项式的乘积.
例如,
(2)对数函数或反三角函数与多项式的乘积.
例如,
(3)指数函数与三角函数的乘积.
例如,
解题技巧:
按 “ 反对幂指三” 的
顺序,
前者为 后者为
反: 反三角函数
对: 对数函数
幂: 幂函数
指: 指数函数
三: 三角函数
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例1. 求
解: 令
则
∴ 原式
思考: 如何求
提示: 令
则
原式
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例2. 求
解: 令
则
原式 =
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例3. 求
解: 令
则
∴ 原式
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例4. 求
解: 令
, 则
原式 =
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例5. 求
解: 令
, 则
原式 =
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例6. 求
解: 令
, 则
∴ 原式
再令
, 则
故 原式 =
说明: 也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
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例. 求 与
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例7. 求
解: 令
则
∴ 原式 =
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例8. 求
解: 令
则
∴ 原式 =
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总结
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有了以上的六个基本积分公式,我们就可以计算以下的
两类不定积分:
方法: 配元, 化为标准型, 然后根据上述公式即可得.
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例. 求
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例11. 求
解: 令
则
原式
令
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例9. 求
解: 令
则
得递推公式
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说明:
递推公式
已知
利用递推公式可求得
例如,
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例10. 证明递推公式
证:
注:
或
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说明:
分部积分题目的类型:
1) 直接分部化简积分 ;
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 ,
解出积分后加 C )
例4
3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递
推公式 .
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例12. 求
解法1 先换元后分部
令
即
则
故
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解法2 用分部积分法
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例13. 已知
的一个原函数是
求
解:
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
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内容小结
分部积分公式
1. 使用原则 :
易求出,
易积分
2. 使用经验 :
“反对幂指三” , 前 u 后
3. 题目类型 :
分部化简 ;
循环解出;
递推公式
4. 计算格式 :
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练习. 求
解:
令
则
可用表格法求
多次分部积分
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练习. 求
解: 令
则
原式
原式 =
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思考与练习
1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?
得 0 = 1
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .
求此积分的正确作法是用换元法 .
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2. 求
对比 P370 公式(128) , (129)
提示:
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作业
P213 1---24
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备用题.

解：
方法1
(先分部 , 再换元)
令
则
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方法2
(先换元,再分部)
令