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函数单调性的判断或证明方法
（1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是 ①取值，设1厂1 , 且r t;②作差， 求■'■■■.:: ；③变形（合并同类项、通分、分解因式、
配方等）向有利于判断差值符号的方向变形； ④定号，判断—厂二三=1—匚二可：—「•「匚二者有相
反的单调性。
运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。
（3） 。
=_r +IXI的单调区间。
解：
― 的单调区间
■H —
在同一坐标系下作出函数的图像得
? - X (X <0) -?+■! (1>0)
所以函数的单调增区间为
减区间为
(-討(”)
― 的单调区间
（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数
的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性 •⑤若集合二是内层函数--"I
的一个单调区间，则便是原复合函数 尸的一个单调区间，如例4;若二不是 内层函数： 「门 的一个单调区间，则需把 I 划分成内层函数〉 「」的若干个单调子 区间，这些单调子区间便分别是原复合函数 _戶他⑴] 的单调区间，如例5.）
设『二/他），” = g（x）xE[tO]，泾网同都是单调函数，则y=f[gMl在曲切
上也是单调函数，其单调性由 “同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数
为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：
» 二 gW
?=/(«)
J=/fe«)
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
解原函数是由外层函数"匸和内层函数"一 1复合而成的;
易知.■- 是外层函数:,=的单调增区间;
令〕解得“取值范围为二一「；
f 11 u =
由于 是内层函数 一
'的一个单调减区间， 于是 (如］ 便是原函
数的一个单调区间;
根据复合函数“同增异减”的复合原则知,
(如］ 是原函数的单调减区间。
4
y —
例5求函数 二..J的单调区间.
4
解原函数是由外层函数• 「和内层函数-■ ■■ ■: -复合而成的;
4
易知一龙』1和：UT1都是外层函数• 一■:的单调减区间;
J -「，解得的取值范围为一 ■;
结合二次函数的图象可知 1不是内层函数的一个单调区间，但
可以把区间一■划分成内层函数的两个单调子区间
丄和「，其中丄是其单
调减区间，一 是其单调增区间;
于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知,
(-冷
2是原函数的单调增区间,
［#)
- 是原函数的单调减区间。
同理，令一' ..
-;-.：11，可求得是原函数的单调增区间,
原函数的单调减区间。
综上可知，原函数的单调增区间是
和丄，单调减区间是「
（5）含参数函数的单调性问题
心啦丸己知函期的二吐俎H时，讨论函期⑵单调性。
（先分
离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论 .）
且/（R 二
此+b
7+