高等数学 ch12第四节.ppt

第四节第四节函数项级数函数项级数?一、函数项级数的概念?二、函数项级数的一致收敛性?三、一致收敛级数的判别法?四、一致收敛级数的基本性质问题的提出有限个连续函数的和仍是连续函数,?对于幂函数是这样的,那么对于一般的函数项级数是否如此?问题:解,)( nnxxs?且得和函数: 因为该级数每一项都在[0,1] 是连续的, ??????????.1,1 ,10,0)( lim )(x xxsxs )( 处间断在和函数?xxs 例1 考察函数项级数???????????)()()( 1232nnxxxxxxx 和函数的连续性. 函数项级数的每一项在],[ba 上连续,并且级数在],[ba 上收敛,其和函数不一定在],[ba ,能从每一项的连续性得出和函数的连续性,从每一项的导数及积分所成的级数之和得出原来级数的和函数的导数及积分呢? 问题一、函数项级数的一般概念 : 设??),(, ),( ),( 21xuxuxu n 是定义在RI?上的函数,则??????????)()()()( 211xuxuxuxu n n n 称为定义在区间I 上的( 函数项) 无穷级数.,1 20????????xxx n n 例如级数 : 如果Ix? 0 , 数项级数???1 0)( n nxu 收敛, 则称0x 为级数)( 1xu n n???的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数)( 1xu n n???的所有收敛点的全体称为收敛域,)()( lim xsxs nn???函数项级数的部分和余项)()()(xsxsxr nn??(x在收敛域上)0)( lim ???xr nn注意函数项级数在某点 x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题. :???????)()()()( 21xuxuxuxs n 在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数)(xs , 称)(xs 为函数项级数的和函数.(定义域是?) ),(xs n 例1 求级数nn nxn )1 1( )1( 1?????)( )( 1xu xu n n?xn n????1 11 )(1 1????nx,11 1)1(??x 当,20时或即???xx 原级数绝对收敛.,11???x ,11 1)2(??x 当,11???x,02时即???x 原级数发散.,0时当?x???? 1)1( n nn 级数收敛;,2时当??x???11 nn 级数发散; ).,0[)2,( ??????故级数的收敛域为,1|1|)3(??x当,20????xx或二、函数项级数的一致收敛性设有函数项级数???1)( n nxu .如果对于任意给定的正数?,都存在着一个只依赖于?的自然数N ,使得当Nn?时,对区间I 上的一切x ,都有不等式????)()()(xsxsxr nn 成立,则成函数项级数???1)( n nxu 在区间I 上一致收敛于和)(xs ,也称函数序列)(xs n 在区间I 上一致收敛于)(xs .定义