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柯西不等式柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy) 在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲,该不等式应当称为 Cauchy-Buniakowsky-Schwar z 不等式,因为, 正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之,才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式非常重要,灵活巧妙地应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。其形式有以下几种: 二维形式(a^2+b^2)(c^2+ d^2) ≥(ac+bd)^2 等号成立条件: ad=bc (a/b=c/d) 扩展: (( a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+.. .(bn)^2 ;) ≥( a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2; 等号成立条件: a1:b1=a2:b2= …=an:bn (当 ai=0 或 bi=0 时 ai和bi 都等于 0 ,不考虑 ai:bi , i=1,2,3 ,…,n) 三角形式√( a^2+b^2)+ √( c^2+d^2 ) ≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 等号成立条件: ad=bc 注: “√”表示平方根, 向量形式|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a ,…, an),β=(b1,b ,…, bn)(n∈N, n≥2) 等号成立条件: β为零向量,或α=λβ( λ∈ R )。一般形式(∑( ai^2 ;))( ∑( bi^2;)) ≥(∑ ai· bi)^2; 等号成立条件: a1:b1=a2:b2= …=an:bn ,或 ai、 bi 均为零。上述不等式等同于图片中的不等式。推广形式(x1+y1+ …)( x2+y2+ …)…( xn+yn …)≥[(Π x)^(1/n)+ (Π y)^(1/n)+ …]^n 注: “Π x”表示 x1, x2,…, xn 的乘积, 其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式,其表述是:在 m*n 矩阵中,各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。(应为之积的几何平均之和) 几种形式的证明: 二维形式的证明( a2+b2)(c2+d2 )( a,b,c,d ∈ R) =a2 · c2 +b2 · d2+a2 · d2+b2 · c2 =a2 · c2 +2abcd+b2 · d2+a2 · d2- 2abcd+b2 · c2 =(ac+bd)2+(ad - bc)2 ≥( ac+bd)2 ,等号在且仅在 ad- bc=0 即 ad=bc 时成立。三角形式的证明√( a2+b2)+ √( c2+d2 ) ≥√[(a-c)2+(b-d)2] 证明: [√( a2+b2)+ √( c2+d2)]^2=a2+b2+c2+d2+2* √( a2+b2)* √( c1+d2) ≥ a2+b2+c2+d2+2*|a*c+b*d| 注: || 表示绝对值。* 表示乘≥ a2+b2+c2+d2-2 ( a*c+b*d ) =a2-2*a*c+c2+b2-2bd+d2 =(a-c)2+(b-d)2 两边开根号即得√( a2+b2)+ √( c2+d1 ) ≥√[(a-c)2+(b-d)2] 一般形式的证明求证: (∑ ai2 )( ∑ bi2) ≥(∑ ai· bi)2 证明: 等式左边=(ai2 · bj2+aj2 · bi2)+.................... 共 n2 /2项等式右边=( ai· bi)·( aj· bj)+(aj · bj)· ( ai· bi)+................... 共 n2 /2项用均值不等式容易证明等式左边≥等式右边得证向量形式的证明令m =(a1,a2 ,…, an ), n =(b1,b2 ,…, bn) m·n =a1b1+a2b2+ …+anbn=| m ||n |cos< m,n >=√( a12+a22+ …+an2) ×√( b12+b22+ …+bn2) × cos< m,n> ∵ cos< m,n>;≤1∴ a1b1+a2b2+ …+anbn ≤√( a12+a22+ …+an2) ×√( b12+b22+ …+bn2) 注: “√”表示平方根。推广形式证明记 A1=x1+y1+ …, A2=x2+y2+ …,…. 由平均值不等式得( 1/n)(x1/A1+x2/A2+ …+xn/An ) ≥[x1*x2* …*xn/(A1*A2* …*An)]^(1/n ) =[(Π x)/(A1*A2* …*An)]^(1/n ) ( 1/n)(y1/A1+y2/A2+ …+yn/An )≥[y1*y2* …*yn/(A1*A2* …*An)]^(1