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1 凹凸函数 凸集 1 定义一组 n X R ?称为凸如果任何两点' " , x x X ?线段加入' " , x x 完全属于 X, 换句话说为每个?? 0,1 t?这一点' " (1 ) t x t x tx ? ??对于每一个?? 0,1 t?都在 X 中。凸凸集的交集。凸集的结合不一定是凸的。让n X R ?的凸壳被定义为最小的凸集包含 X。 X的凸包包含所有点的凸组合一些点的 X??( )= y : , , 1 n i i i i CH X R y t x x X t ? ???? ? 凹和凸函数函数 f是凹的,如果线段上的连接任意两点图中是从来没有的图形上方,更确切地说。定义 2函数 f:n S R ? R凸集上定义的 S是凹的,如果任何两点' " , x x S ?,对任意的?? 0,1 t?,我们有????????' " ' " (1 ) 1 t f x tf x f t x tx ? ???? f叫做严格凹,如果有????????' " ' " (1 ) 1 t f x tf x f t x tx ? ????而凸与凹正好相反。大致说来函数的凹性意味着上面的图和弦。很明显,如果 f是凹那么独一无二 f凸,反之亦然。定理 1的函数 fn S R ?如果,只有 R是凹(凸) 如果限制每一个线段的 nR 是凹(凸)函数的一个变量。定理 2如果 f是一个凹(凸)函数然后当地达到极大(极小)是显而易见的。 表征图给定一个函数 f:n S R ? R凸集上定义。 f的 hypograph 定义为点集( , ) x y S R ? ?在函数的波形图上:????, : , ( ) . hypf x y x S y f x ? ??同样,f的题词是定义为点集( , ) x y S R ? ?在以上函数的图上:????, : , ( ) . epif x y x S y f x ? ??定理 3(a)函数 f:n S R ? R凸集上定义的 S为凹,当且仅当其 hypograpf hyp f是凸的。(b) 函数 f:n S R ? R上定义一个凸集是凸且仅当其题词 epi f是凸的。(a) 的证明:让 1(x? 1 2 2 ,y),( x ,y )hyp f ,让我们证明???? 1 2 1 2 , (1 ) , (1 ) xt yt tx t x ty t y hypf ? ????? 1 2 1 2 1 2 (1 ) ( ) (1 ) ( ) ( (1 ) ) ( ) t