函数的单调性判定.ppt

第二节函数的单调性判定 Ox y y=f(x) Ox y y=f(x) 由图可知,若函数 y=f(x) 在区间[a ,b] 上单调增加,则它的图象是一条沿 x轴正向上升的曲线,这时曲线上各点的切线斜率都是正的(倾斜角为锐角),即 0)(??xf同样,若函数 y=f(x) 在区间[a ,b] 上单调减少,则 0)(??xf我们总结出如下定理(证明从略): 定理(函数单调性判定定理) 设函数 y=f(x) 在闭区间[a ,b] 上连续,在开区间(a ,b) 内可导。(1)若在(a ,b) 内,则函数 y=f(x) 在[a ,b] 上单调增加; 0)(??xf(2)若在(a ,b) 内,则函数 y=f(x) 在[a ,b] 上单调减少。 0)(??xf注:( 1)在上述定理中,闭区间[a ,b] 若改为开区间(a ,b) 或无穷区间,结论也成立; (2)有的可导函数在某区间内个别点处, 导数为零,但函数在该区间内仍单调增加(或减少)。例如, y=x 3, 当 x=0 时, 。但它在内是单调增加的。,3 2xy??0??y ),( ????例1 判定函数的单调性 1)(???xexf xx 0 0 + y )0,( ??),0( ?? y ?例2 确定函数的单调区间 312 92)( 23????xxxxf x 1 (1,2) 2 + 0 0 + f(x) )1,( ??),2( ??)(xf ?第三节函数的极值与最大值、最小值一、函数极值的定义如上图所示。直观上看, f(c 1)与 f(c 4)为函数 f(x) 的极大值, c 1,c 4为 f(x) 的极大点; f(c 2)与 f(c 5 ) 为函数 f(x) 的极小值, c 2,c 5为 f(x) 的极小点。 Ox yab c 1c 2c 3c 4c 5 y=f(x) (函数极值的严格定义见后) 定义设函数 f(x) 在区间(a ,b) 内有定义, x 0 是(a ,b) 内的一个点。如果对于点 x 0近旁的任意 x( ) , f(x)<f(x 0)均成立,则称 f(x 0)是 f(x) 的一个极大值,点 x 0称为 f(x) 的一个极大点。如果对于点 x 0近旁的任意 x( ) , f(x)>f(x 0)均成立,则称 f(x 0)是 f(x) 的一个极小值,点 x 0称为 f(x) 的一个极小点。 0xx? 0xx?函数的极大值与极小值统称为极值;极大点与极小点统称为极值点。说明: (1)极值概念是局部性的,最值概念是整体性的。例如,前面的图中, f(c 1)与 f(c 4)为极大值,并非最大值,最大值为 f(b) 。(2)极大值不一定比极小值大。例如前面的图中,极大值 f(c 1)比极小值 f(c 5)还要小。(3)极值一定出现在区间内部,在区间端点处不能取得极值;而最值可能出现在区间内部,也可能出现在区间的端点处。二、函数极值的判定和求法在几何上不难看出,在函数取得极值处, 曲线的切线(若存在)必为水平的。由此总结出: 定理 1(必要条件) 设函数 f(x) 在点 x 0可导,且 f(x 0)为极值,则 0)( 0??xf驻点:使成立的点 x 0称为函数 f(x) 的驻点。 0)( 0??xf 定理 1表明:可导函数的极值点必为驻点。但是反过来,驻点不一定为极值点。例如, y=x 3, ,当 x=0 时,即 x=0 为驻点,但 x=0 并非极值点。因此,定理 1谈的仅为必要条件,并非充分条件。 23xy??0??y定理 2(充分条件) 设函数 f(x) 在点 x 0的近旁可导,且。 0)( 0??xf(1)若当 x取x 0左侧近旁的值时, 恒为正;当 x取x 0右侧近旁的值时, 为负,则 f(x) 在点 x 0取得极大值; )(xf ?)(xf ?(2)若当 x取x 0左侧近旁的值时, 恒为负;当 x取x 0右侧近旁的值时, 为正,则 f(x) 在点 x 0取得极小值。)(xf ?)(xf ?注意:当 x渐增地经过 x 0时,若的符号不变,则 f(x) 在点 x 0没有极值。)(xf ?求函数极值的步骤: (1)求出函数 f(x) 的定义域(2)求出导数)(xf ?(3)令,求出 f(x) 的全部驻点 0)(??xf(4)用驻点把函数的定义域