《线性代数教学资料》第七节 相似矩阵.pptx

2相似矩阵的定义与性质第七节相似矩阵 1问题的引出 3方阵的特征值与特征向量 4相似对角化 5实对称矩阵的相似矩阵 6零化多项式与最小多项式设为数域 F上线性空间 V的一组基, 为V 的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设用矩阵表示即为其中矩阵 A称为线性变换在基 下的矩阵. 1 2 , , , n ? ? ??? 12 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n ?? ???????? ???????? ??????? ?????? ?????? ?????????????????????????? 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , n n n A ? ????????????? ?? ?? 11 12 1 21 22 2 1 2 , nn n n nn A ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ??? ?? ?? ????????? 1 2 , , , n ? ? ??定理: 设线性空间 V的线性变换 T在两组基(Ⅰ) (Ⅱ)下的矩阵分别为 A、B,且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡矩阵是P,则, 1 2 , , n ? ? ?? 1 2 , , , n ? ? ?? 1. B P AP ?? 1、定义定义 1,,~. ??设是阶方阵,若有阶可逆方阵, 使则称与相记作似, n n A B P P AP B A AB B 1, ? A P AP A 对进行运算称相为对进行似变换; P A B 可逆矩阵称为把变为的相似变换矩阵.?????????????? 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 0 2 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 , 0 1 0 2 0 1 0 2 ???? ???? ?? A P P P AP B 例? ? A B 2、性质(1) A A ?反身性:; (2) ~ ~ ? A B B A 对称性:; (3) ~ ~ ~ ? A B B C A C 传递性:且; ?????等价关系(4) ~ det det , 相似矩阵的可逆性: 与同时可逆或同时不可逆; B ? ?? A B A A B 11 ~ det det det det det ??? ?? ???? A B B P AP B P A P A 证 1 1 (5) ~ ~ 逆矩阵相似性:且可逆; ? ?? A B A A B 证 1 1 1 1 1 1 ( ) ? ?????? ??? B P AP B P AP P A P 证(6) ~ ~ ( ) , ~ ( ) m m k k k m ? ?? A B A B R A B N 同幂矩阵、数乘矩阵相似性: 1 1 1 1 1 ( ) m m m m ? ?? ? ?? ? ? B PP P AP P A A AP P A P P P ????????????个????(7) ~ ~ , f A f B f ? A B 矩阵多项式相似性:是多项式; 证 1 1 1 0 ( ) s s s s f x a x a x a x a ??? ? ????设 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1