高考数学常考知识点之空间向量.doc

高考数学常考知识点之空间向量空间向量 1 .空间向量的概念: 具有大小和方向的量叫做向量注: ⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2 .空间向量的运算定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 ba AB OA OB ??????ba OB OA BA ??????)(Ra OP ?????运算律: ⑴加法交换律: abba ???????⑵加法结合律: )()(cbacba ???????????⑶数乘分配律: baba ??????????)( 3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或平行向量. a ?平行于 b ?记作ba ??// . 当我们说向量 a ?、b ?共线(或a ?//b ?)时, 表示 a ?、b ?的有向线段所在的直线可能是同一直线,也可能是平行直线. 4 .共线向量定理及其推论: 共线向量定理: 空间任意两个向量 a ?、b ?(b ?≠0 ?),a ?//b ?的充要条件是存在实数λ, 使a ?=λb ?. 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a ?的直线,那么对于任意一点 O, 点P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 t OA OP ??a ?. 其中向量 a ?叫做直线 l 的方向向量. 5 .向量与平面平行: 已知平面?和向量 a ?,作 OA a ??????, 如果直线 OA 平行于?或在?内, 那么我们说向量 a ?平行于平面?,记作: //a??. 高考数学常考知识点之空间向量通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量说明:空间任意的两向量都是共面的 6 .共面向量定理: 如果两个向量, a b ??不共线, p ?与向量, a b ??共面的充要条件是存在实数, x y 使 p xa yb ? ??? ?推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对, x y ,使 MP xMA yMB ? ????? ????????或对空间任一点 O ,有 OP OM xMA yMB ? ???????????????????①①式叫做平面 MAB 的向量表达式 7 空间向量基本定理: 如果三个向量, , a b c ?? ?不共面,那么对空间任一向量 p ?,存在一个唯一的有序实数组, , x y z ,使 p xa yb zc ? ???? ? ?推论:设, , , O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数, , x y z ,使 OP xOA yOB zOC ? ?????? ???????????? 8 空间向量的夹角及其表示: 已知两非零向量, a b ??, 在空间任取一点 O ,作, OA a OB b ? ????? ??????,则 AOB ?叫做向量 a ?与 b ?的夹角,记作, a b ? ???;且规定 0 , a b ??? ????,显然有, , a b b a ? ????? ??