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多目标最优化
第1页，共35页，编辑于2022年，星期六
本章内容主要介绍：
如何建立目标规划模型
如何求解
单目标模型只需简单确定一个目标，而将其余的列为约束；
在构建多目标模型时，则需要对问题有较深的理解，必须考虑更全
有效解（或非劣解）法：
有效解（或非劣解）法“不会产生”象加权法或优先级法所具有的局限性，它将找出全部有效解集（即非劣解）以供决策者从中挑选。
缺点：难处在于实际问题中非劣解太多，难于一一推荐给决策者。
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目标规划引例： 利润最大化问题
某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、 Ⅱ两种产品，已知有关数据如下表所示：
Ⅰ
Ⅱ
拥有量
原材料 kg
2
1
11
设备台时 hr
1
2
10
利润 元/件
8
10
解：这是一个单目标规划问题，可用线性规划模型表述为：
试求获利最大的方案。
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目标函数 max z = 8x1+10x2
约束条件 2x1 + x2 ≤11
x1 + 2x2 ≤ 10
x1 , x2 ≥ 0
可用图解法求得最优决策方案为：
x1*=4, x2*=3, z*=62
x1 + 2x2 ≤ 10
8x1+10x2=c
6
1
2
3
4
5
2
4
6
8
10
2x1 + x2 ≤11
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在实际决策时，还应考虑市场等一系列其他条件，如：
（1）市场调查发现：Ⅰ的销量有下降趋势，故应考虑适当减少Ⅰ的产量增加Ⅱ的产量，使Ⅰ＜ Ⅱ
（2）原材料的价格不断上涨，增加供应会使成本提高。故不考虑再购买原材料。
（3）为提高效率，应充分利用设备，但不希望加班。
（4）市场虽发生变化，但利润应尽可能达到或超过56元。
此时的决策是多目标决策问题——目标规划方法是解决这类决策问题的方法之一。
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1. 正、负偏差变量d+,d-
d+ : 决策值超过目标值的部分
d- ：决策值未达到目标值的部分
恒有 d+×d-=0
与建立目标规划模型有关的概念
例如目标 z = 8x1+10x2 ≥56 可以变化为目标约束：
8x1+10x2+d1--d1+＝56
当d1 - ＝0时，目标约束与目标等价
绝对约束 2x1 + x2 ≤11 可以变换为目标约束：
2x1 + x2 +d2--d2+＝11
当d2+＝0时，目标约束与绝对约束等价
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硬约束
软约束
2 . 绝对约束、目标约束
绝对约束：必须严格满足的等式或不等式约束
目标约束：目标规划所特有的约束，约束右端项看作要追求的目标值，在达到目标值时，允许发生正或负的偏差
例如，原材料的价格不断上涨，增加供应会使成本提高。故不考虑再购买原材料
从而 2x1 + x2 ≤11 是硬约束
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3 . 优先因子与权系数
目标规划问题常常有多个目标，但这些目标的主次或轻重缓急是不同的。
最重要的目标赋予优先因子P1，次一级的目标赋予优先因子P2，…，并规定Pk>>Pk+1——即表示Pk比Pk+1有更大的优先权。
如果要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，则分别赋予它们不同的权系数wj。
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4 .目标规划的目标函数 min z = g ( d＋, d－ )
三种基本形式：
目标类型
目标规划格式
需要极小化的偏差变量
fi(x) ≤ bi
fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi
d＋
fi(x) ≥ bi
fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi
d－
fi(x) ＝ bi
fi(x)＋ d－－d＋ ＝ bi
d－＋d＋
d+ : 决策值超过目标值的部分
d- ：决策值未达到目标值的部分
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例2 引例的目标规划模型：
Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量

2x1 + x2 ≤11
硬约束
x1－x2 ＋ d1－－d1＋ ＝0
d1＋
x1 ≤ x2
极小化
即x1 －x2 ≤ 0
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，不加班
x1＋2x2 ＋ d2－－d2＋ ＝