“算两次”在求体积中的应用
文/ 刘晓丽 刘 银
【摘 要】空间几何体的体积求解过程中往往有这样的经验：对于
一个非常规则的几何体或复杂几何体的体积求解仅仅从某一个方面
进行研究不能得出最终的结果。 本文从一个典型问题出发， 多角度“算两次”在求体积中的应用
文/ 刘晓丽 刘 银
【摘 要】空间几何体的体积求解过程中往往有这样的经验：对于
一个非常规则的几何体或复杂几何体的体积求解仅仅从某一个方面
进行研究不能得出最终的结果。 本文从一个典型问题出发， 多角度探
究体积的求解方法，为“算两次”在求体积中的应用作铺垫。
关键词 体积；算两次；等积法
引例如图，正方体ABCDA' B' C D',棱长为a, P、Q分别为 体对角线BD上两点，且PQ=
,求三棱锥Q-APC勺体积。
分析：本题中 P、 Q 为动点，根据棱锥体积的公式利用棱锥的底面积
和高进行求解。本题只知道 PQ两点的相对距离，三棱锥的底面积和 高无法确定。这是本题的难点，这也是供解题者发挥的关键点所在。
通过探究发现，大致有如下四种解法：
解法一： 将两点的位置通过平移加以固定， 使得棱锥形状加以确定。
因此可将点P沿着BD´移动到与点B重合，则有BQ==则 要求三棱锥Q-AP平积即为求三棱锥Q-
解法二：与解法一思路相通，将点 Q平移到与点D´重 合，则有 PD&acute产，要求三棱锥 Q-APC体积即为求三棱锥 D´-APC的体积，据题意，三棱锥底面为三角形 APC高为 点D´到平面APC的距离，然而高和底面的求解都存在一 定的困难。此时用割补法来进行体积的求解。由题意可知
解法四： 由于三棱锥特有的几何特征， 将三棱锥的任一个端点看作
棱锥顶点，都能得到一个三棱锥，因此在求解三棱锥的体积时，通过
转换顶点的方式来对棱锥体积进行求解以简化运算。 这种计算体积的
方法本质上是算两次， 通常称为“等积法”。 本题可以借助等积法转
换顶点
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