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求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种方法方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法〔逐差法〕、 迭代法、a1?a,n?1指数函数、分式函数，求通项
?an?f(n)an.
，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、
①假设f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②假设f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③假设f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④假设f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

{an}中,










an?0Sn?且
1n(an?)2an,求数列{an}的通项公式.
Sn?解:由确定
1n1n(an?)Sn?(Sn?Sn?1?)2an得2Sn?Sn?1,
,由类型(1)有
2Sn?S12?2?3???n化简有
22Sn?Sn?1?n,
3

n(n?1)2Sn?2,又又S1?a1得a1?1,所以
2n(n?1)?2n(n?1)2
an?0sn?2n(n?1)2,,
那么
an?此题也可以用数学归纳法来求解.
二、累乘法
： an?1?f(n)an ----------这是广义的等比数列 累乘法是最根本的二个方法之二。
2．假设
an?1aaa?f(n)，那么2?f(1)，3?f(2)，??，n?1?f(n) ana1a2annan?1?a1??f(k) 两边分别相乘得，a1k?1例4 确定数列{an}满意an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
n解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，那么










nan?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1
?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n(n?1)2n?1a?3?2?5所以数列{a}的通项公式为nn?n!.
22??n?1a?na?an?1an?0n??an?，且〔=1，2， 3，?〕，
那么它的通项公式是an=________.

4

解：确定等式可化为：
(an?1?an)?(n?1)an?1?nan??0
*?an?0(n?N)?(n+1)an?1?nanan?1n?ann?1 ?0, 即
ann?1?n ?n?2时，an?1?ananan?1a2an??????a1n?1?n?2??1?1an?1an?2a1=nn?12an和
=
1n.
评注：此题是关于与
an?1的二次齐次式，可以通过因式分解〔一般状况时用求根公式〕得到
an?1的更为明显的关系式，从而求出
an.











an?1?nan?n?1,a1??1,求数列{an}的通项公式.
答案：
an?(n?1)!?(a1?1)-1.
评注：此题解题的关键是把原来的递推关系式
an?1?nan?n?1,转化为
an?1?1?n(an?1),出数列的通项公式.
假设令
bn?an?1,那么问题进一步转化为
bn?1?nbn形式，进而应用累乘法求
三、待定系数法 适用于an?1?qan?f(n)
根本思路是转化为等差数列或等比数列，而数