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数学史从刘徽到祖冲之
中国古代数学的发展
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。
在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明
《九章算术注》对数学方法的贡献
　　开始了其独特的推理论证的尝试。 “析理以辞，解体用图。” 创立了“出入相补”的方法，提出了“割圆术”，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法 。提出“审辨名分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定《九章算术注》丰富了《九章算术》的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。 诸如，割圆术与徽率“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”
中国数学家刘徽
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，
　　但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了"割圆术"，
古典数学的形成与发展时期
（1）割圆术
刘徽注《九章算术》方田章“圆田术”：“半周半径相乘得积步”，求圆面积时用圆周率为3。
“又按：为图，以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”
刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作．
古典数学的形成与发展时期
古典数学的形成与发展时期
第一，设圆的半径为1尺，从圆内接正六边形出发，倍增正多边形的边数，直到正96边形，依次算出正多边形的周长和面积。
第二，由正48边形边长计算正96边形面积。
第三，找出与圆面积之间的关系，这种关系也称刘徽不等式。
割圆术的基本原理
设圆面积为So、半径为 r、圆内接正n边形边长为 In 、周长为 Ln、面积为 Sn 。将边数加倍后,得到圆内接正2n边形，其边长、周长、面积分别记为 l2n , L2n , S 2n 。
刘徽首先指出，由 ln 及勾股定理可求出 l2n
其次知道了圆内接正n 边形的周长 Ln，又可求得正2n边形的面积，如果在圆内接n边形的每边上作一高为CD的矩形，就可以证明刘徽不等式：
S2n < So< S2n + ( S2n－Sn ).
徽率
从圆内接正六边形出发，取半径r为1尺，一直计算到192边形，得出圆周率的近似值π≈，化成分数为157/50，这就是有名的“徽率”
古典数学的形成与发展时期
弧田术
刘徽注《九章算术》方田章“弧田术”：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。”
（二）体积理论
刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是他所谓的“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和不变。
在平面的情形，刘徽成功地证明了《九章算术》中许多面积公式，但当他转向立体情形时，却发现“出入相补”的运用遇到了很大的困难。这里实质性的障碍在于：与平面情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补（也就是中国古代数学家所说的“出入相补”）相等。
“圭田”即等腰三角形
“今有圭田，广十二步，正纵二十一步。问：为田几何？“
答曰：一百二十六步。
术曰：半广以乘正纵。
刘徽注：“半广者，以盈补虚为直田也。亦可半正纵以乘广。按半广乘纵，以取中平之数。故广纵相乘为积步。亩法除之，即得也。”
刘徽图解：
“邪田”，即直角梯形的面积：
“今有邪田，一头广三十步，一头广四十二步，正纵六十四步。问：为田几何？”
答曰：九亩一百四十四步。
术曰：并两邪而半之，以乘正纵若广。又可半正纵若广，以并，亩法而一。
即
刘徽根据出入相补原理的图解：
“箕田”即等腰梯形
“今有箕田，舌广二十步，踵广五步，正纵三十步。问：为田几何？”
答曰：一亩一百三十五步。
术曰：并踵舌而半之，以乘正纵。亩法而一。
刘徽注：“中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵舌，半正纵以乘之”
他