第四章 根轨迹分析法.ppt

第四章根轨迹法控制系统的全部性质,都取决于其闭环的传递函数: 稳定性取决于其极点;稳态精度取决于其比例系数;动态性能取决于其极点和零点。选用原因: 闭环传递函数的极点对于高阶系统比较难求,因此需要通过间接的方法进行研究( G(s) 与φ(s) 的关系) 目的:解决系统控制过程的分析和计算方法: 通过系统开环传递函数寻求闭环特征根,利用系统闭环根轨迹图来判断系统的稳定性和分析系统的动态品质, 从而为改善及设计系统提供依据。根轨迹法是 1948 年提出的一种求解闭环特征方程的图解方法,在工程上获得了广泛的应用。§4- 1 根轨迹的基本概念一、根轨迹定义根轨迹?是指当系统开环传递函数的某个参数(如开环增益 K)由零到无穷大变化时, 闭环特征根在[s]平面上移动所画出的轨迹。根轨迹法根据系统开环传递函数极点和零点的分布, 依照一些简单的规则,用作图的方法求出闭环极点的分布,从而避免了复杂的数学运算。例4-1:设一随动系统如下图所示 K/s( s +1) C(s) R(s) - 系统的闭环传递函数为: Kss Ks??? 2)(?系统特征方程为: s 2 +s+K=0 用解析法求得其根为: K s412 12 1 2,1????当系统增益 K取不同值时,可求得响应得特征根,如下表: -1 - - -- … --j ∞ s 2 0 - - -+ … -+j ∞ s 1 0 …∞ K将求得的特征根连成曲线得: 0 K=0 K= K= K= K=0 K= K= 在根轨迹上标明了 K值,所以只要给定了实际的 K值,就可以确定根在复平面上的分布情况,从而可以估计动态性能指标。反过来,根据对系统动态性能的要求确定出希望的闭环极点位置时,可以从根轨迹图上求出应选用的 K值。例如,当 K= 时,系统的特征根为- ± ,可知这个系统的ξ= , Wn = ,可求得系统阶跃响应的主要动态性能为:超调量为 4%,过渡过程时间为 6s。二、根轨迹与系统的性能稳定性:对于任意 K>0 的增益,在K由零变成无穷时,两条根轨迹一直在 s平面的左侧变化,因此系统都是稳定的。对于所有可能越过虚轴进入 s右半平面,此时根轨迹与虚轴交点处的 K值,就是临界开环增益根轨迹增益(K=0) 。稳态性能:开环系统为Ⅰ型系统,因此可由 K算出静态速度误差系数。如果给出稳态误差要求,则由根轨迹图可以确定出闭环极点位置的容许范围。动态性能:由根轨迹图可知,当 0<K< 时,所有闭环极点都位于负实轴上,系统为过阻尼系统,单位阶跃响应为非周期过程;当 K= 时,闭环两个实数极点重合,系统为临界阻尼系统,单位阶跃响应为非周期过程,但响应速度加快;当 K> 时,闭环极点为复数极点,单位阶跃响应为阻尼振荡过程,且超调量随 K增大而增大。三、根轨迹方程已知一个控制系统如图所示: G(s) C(s) R(s) - H(s) 系统的开环传递函数 G(s)H(s) 可表示为: )()( )()()( 1 1 *nmps zsKsHsG ni i mj j????????z j:开环传递函数的零点 p i:开环传递函数的极点 K*:根轨迹增益则系统的闭环传递函数为: ??????????????????? ni i mj j ni j mj i ni iss zsKzsKps pssGs 1 1 * 11 * 1)( )()()( )()()( ??z ψj:闭环传递函数的零点 s i:闭环传递函数的极点 K φ*:闭环根轨迹增益系统的闭环特征方程为: 1+ G(s)H(s)=0 即: G(s)H(s)=-1 当s取某个复数时,上式左端是一个复数,可以用模和相位角来表示,且令上式两端模和角分别相等,就可以得到两个方程。取其模值得: 1)()( 1 1 *????????ni i mj jps zsKsHsG模值方程相角: ?)12()()()()( 1 1?????????????kpszssHsG ni i mj j相角方程由以上根轨迹方程可以看出,相角方程和系数 K*无关, 因此 s平面上所有满足相角条件的点都属于根轨迹。而根轨迹上各点所对应的系数 K*则由模值方程确定。所以, 相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件, 而模值方程主要用来确定根轨迹上各点对应的 K*值。相角条件的几何意义: arg(s -a) 表示从点 a引向点 s的矢量的角,所以角条件的左端的表达式就是从诸开环零点 z i引向点 s的矢