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第四章根轨迹法第四章根轨迹法 根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制 根轨迹的基本概念所谓根轨迹, 是指当系统的某个参数( 如开环增益 K) 由零连续变化到无穷大时, 闭环特征根在复平面上形成的若干条曲线。下面结合图 4 -1 所示的二阶系统的例子, 介绍有关根轨迹的基本概念。图 4-1 控制系统框图第四章根轨迹法将图 4-1 所示系统的开环传递函数转化为)2()( )(????ss kss KsG () 其中, k =2 K, 式() 便是绘制根轨迹所用的传递函数的标准形式。由式() 可得两开环极点分别为 p 1 =0, p 2 =-2, 并且没有开环零点。将这两个开环极点绘于图 4-2 上, 并用“×”表示。由式() 可得闭环系统的特征方程为 0)(1??sG 即 02)( 2????ksssD () 第四章根轨迹法所以, 闭环系统的特征根(闭环极点)为 ksks????????11,11 2 1 () 所以, 闭环系统极点 s 1, s 2 与标准化参数 k 之间的关系可由图 4-2 表示。从图可以看出: (1) 当k =0 时, s 1, s 2与p 1, p 2重合, 即开环极点和闭环极点重合; (2) 当0<k<1时, s 1, s 2均为(-2, 0) 区间内的负实数; (3) 当k =1 时, s 1 = s 2 =-1, 即两闭环极点重合; (4) 当1<k<∞时, , 即两闭环极点互为共轭; (5) 当k→∞时, s 1, s 2将沿着直线σ=-1 趋于无穷远处。 11,11 2 1????????kjskjs 第四章根轨迹法由此可见, 通过分析系统的根轨迹图就可清楚地看出闭环系统极点随系统某个参数变化的关系。例如, 从图 4-2 可以看出: 无论K 取何值, 由图 4-1 表示的控制系统的闭环极点均位于复平面的左半平面, 因此系统是闭环稳定的; 而k =1( K =) 是此二阶系统由过阻尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点。并且从图中可以看出, 根轨迹是连续且对称于实轴的, 这也是根轨迹的一个特性。需要指出的是, 绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量, 但实际中最常用的是系统的开环增益。另外这里给出的例子是一个简单的二阶系统, 其特征方程容易求解, 对于高阶系统, 其特征根的计算要借助计算机。第四章根轨迹法图 4-2 根轨迹的绘制 绘制根轨迹的基本条件为了绘制根轨迹, 需要从系统的闭环特征方程入手。设负反馈系统的开环传递函数为 G(s)H(s ), 其中 G(s)和H(s) 分别为控制系统的前向通道传递函数和反馈通道传递函数, 则反馈系统的特征方程为 1+ G(s)H(s )=0 或写成 G(s)H(s )=-1 () () 第四章根轨迹法将上式改写成)360 180 (j)()(je1e|)()(| ???????? isHsGsHsG(i =0, 1, 2, …) 从而得出绘制根轨迹所依据的条件是①幅值条件|G(s)H(s )|=1 () ②相角条件∠G(s)H(s )= arg [G(s)H(s)]=±180 °+i·360 ° (i =0, 1, 2, …) 实际上满足相角条件的任一点, 一定可以找到相应的可变参数值, 使幅值条件成立。所以, 相角条件式() 也是根轨迹的充要条件。只要利用相角条件就可确定根轨迹的形状, 但利用幅值条件才可以求得给定闭环极点所对应的增益 K。进行相角计算时, 规定正实轴方向为 0°, 逆时针方向为相角的正方向。() () 第四章根轨迹法 根轨迹的绘制规则绘制系统的根轨迹, 首先写出系统的特征方程: 0)()(1??sHsG 然后将此方程中开环传递函数部分改写为零极点增益形式, 即特征方程可等价为 0)() )(( )() )((1 21 21???????? n mpspsps zszszsK??() 式() 为绘制根轨迹的标准形式。并且, 由于闭环极点或为实数或为共轭复数, 因此根轨迹是对称于实轴的。下面给出绘制根轨迹图的一般规则。第四章根轨迹法 1. 确定复平面上 G(s)H(s)的零极点位置和根轨迹的分支数在复平面上标出系统开环零极点的位置, 系统的根轨迹起点为开环极点, 终点为开环零点( 或无穷远处) 。由于系统的