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超速行驶问题
摘要
本文主要研究的是探讨驱车从始发地至目的地的最短时间路径问题和最少花费问题，以及在超速情况下的最短时间和最少花费问题。
首先，从整个题目的两个问题入手，发现两个问题都是优化问题，具有一定的联系。然后针对第一问，费用〔包括住店、饮食、油费、收费及罚款〕，接着利用问题一的0-，并找出该路线。

三、模型假设
1、车在每个十字路口只能选择往上或往右行驶。
2、因为有急事，减速与加速的转换过于麻烦，所以我从A城到B城的途中的速度不发生改变。
四、符号说明

每条路段相交的点形成的矩阵
每条路段相交的点
B
横向路段形成的矩阵
每段横向路的坐标
C
纵向路段形成的矩阵
每段纵向路的坐标
W
每个横向路段在限速范围内所用最少时间形成的矩阵
每个横向路段在限速范围内所用最少时间
V
每个纵向路段在限速范围内所用最少时间形成的矩阵
每个纵向路段在限速范围内所用最少时间
X
矩阵B点乘矩阵W
矩阵B与矩阵W对应的元素相乘
Y
矩阵C点乘矩阵V
矩阵C与矩阵V对应的元素相乘
Z
所选从A到B总路段的时间
点乘
在限速的范围内，每段路花费最少时的速度
在限速的范围内，每段路花费最少时的金额
在限速的范围内，每个横向路段所用最少花费
在限速的范围内，每个纵向路段所用最少花费
矩阵B点乘矩阵
所选横向路段所用最少费用
矩阵C点乘矩阵
所选纵向路段所用最少费用
所选路段总共的费用
包括罚款在内的每段路所花费的费用
P
被测到的概率
Q
被罚款的金额
每段路是否有雷达的概率
包括罚款在内，所选路段所用总共的金额
M
在不变的速度下，每个横向路段包括罚款金额在内的所用费用
N
在不变的速度下，每个横向路段包括罚款金额在内的所用费用
超速的百分比

五、模型建立及求解

时间最短路线
求时间最短路线，需知每段公路的最短时间，然后将每种可能的路线的每段公路附上该公路相应的最少时间，最后求和取最小值。
由题目所给图，设点A为点，点B为点，即可把每个路口用点表示出来如下：
定义=
，
每段公路行驶的最短时间 i,j=0、1……9， v表示每段公路的限速
以路段的最少时间和建立目标函数如下：
从而可得约束条件 st
由约束条件利用计算机设计可行程序并得出可行路线〔见附表1〕
将横向路段选取与否用0-1矩阵表示为

将纵向路段选取与否用0-1矩阵表示为

横向每个路段最少时间表示的矩阵为
W=
纵向每个路段最少时间表示的矩阵为
V=
从而横向与纵向所有选取路段的花费分别为
，
即 ，
由计算机计(见附件4)算可得最优路线为
〔见附件1〕。
花费最少的路线
花费最少的路线实质上是在上一问中矩阵W与V的改变，由每段公路的最少时间改变为每段公路的最少花费，而我们的花费与汽车行驶的速度有关，因此我们将每一段花费最少时速度利用求极值算出，并计算出每段路最少的花费。由公式得：


令 , 那么能得到极小值点v=
即求的花费最少时的速度为v=
〔其中a=,b=, 的取值在自身公路限速的范围之内，如50、90、110、130以内〕
例假设该段路限速 最少花费
以下为不同限速路段花费最少的速度与最少花费金额的图表：
每段路的最少花费Z
花费最少时的速度
50



该短路最少的花费




图5-1
那么建立花费最少的目标函数为
那么依据上述模型将W，V矩阵按上诉表格进行替换为：

由计算机改变相应的矩阵〔见附件5〕，运算可得最少花费的路线共有3312条，其中一条的路线为
〔见附件2〕，，所选择的路线不止一条,共有3312条路线。

由题意知图中红色线段必有雷达还有20个移动雷达，由图知共有180条路，那么该段路有雷达的概率为：
由题中得：如果超速10%，那么有70%的可能被雷达探测到，且会被罚款100元；如果超