排列组合题精讲.docx

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排列组合精讲
我们在高中数学中已经学了排列组合的基础知识了，因此大家对“排列组合”这概念应该不会n)个元素出来拼成一组，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
从n个不同元素中取出m(m<n)个元素的所有组合的个数，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示，C是“组合”的英文Combination的第一个字母。
例如，前面讲到的从a、b、c、d这四个元素中取3个元素出来的排列与组合的关系如下：组合数排列数
由上分析可以看出，对于每一个组合都有6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取3个元素岀来排列的排列数为P34,可接下列两步来考虑。
第一步：从4个不同元素中取出3个元素作组合，共有CL=4个组合；第二步：对每一个组合中的3个不同元素作全排列，各有P33=6个排列。
这样，再根据乘法原理即得：
P34=C
34XP将上述公式变成通式:
一般地说，求从n个不同元素中取出m个元素排列的排列数为Pmn，可按下列两步来考虑:第一步：先求出从这n个不同的元素中取出m个元素的组合数为CTn；第二步：求每一个组合中m个不同元素的全排列数P寫根据乘法原理则得到：
P：=CmnXP
因此而得:
n-m}!注意：这里的
n,m€N且m<n，这个公式就叫做组合数公式。又因为
所以上述组合数公式还可以写成:
in!(ii-in)
例如：从8个元素中每次取3个元素出来组合所得的组合数为:
Sx7x6x5x4x3x2xl3x2x1x5x4x3x2xl8x7x63x2x1
=56例如：从4个元素中每次取3个元素岀来组合所得的组合数为:
4x3x2
3x2xi
例如：从8个不同元素中每次取5个元素出来组合所得的组合数为:
_Kx7x6x5x4x3x2xI
-5x4x3x2xlx3x2xIXx7x6
=3x2x1
-56显见，这个组合数与前面从8个不同元素中每取3个元素出来组合所得的组合数是相等的，即C=C38同理c：=C1、C62=戊、C52=戊、，，因此有公式：Cnm=CTn（这为组合数的性质定理1）
（注意：为了使这个公式在n=m时也成立，我们规定C0n=1）
这是组合数的其中一个性质，此外，组合数还有另一个性质为：Cmn+1=Cn+Cm-1n（这为组合数的性质定理2）。
例如：计算C98100和C32°+戊0
解：由组合数的性质定理1可得：
=4950
2x1
而由组合数的性质定理2可得：
321x20x197x10x19'杯
-20
3x2x1
；1=—TZ:_-=:—1
下面我们就详细算一算从5个不同元素中每次分别取1、2、3、4、5种元素出来组合所得的组合数:
~1!x(5...?!
i-4)!'
~2!x(55!
i-2)!~iI
"3!x(f5!
i-3)!_1
"4；x(55!
i-4)!~1Y
5!
[()
10
5!x(5-5)!
这5个不同元素进行不同的组合所得的组合数共为5+10+10+5+1=31我们从5种不同元素中每次分别