高等数学课件8.ppt

第八章柱体体积=底面积×高特点:=? 特点:曲顶.),(yxfz?D 、问题的提出播放播放求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法,如下动画演示. 设有一平面薄片,占有xoy 面上的闭区域D ,在点),(yx 处的面密度为),(yx?,假定),(yx?在D 上连续,平面薄片的质量为多少? i???),( ii??将薄片分割成若干小块, 取典型小块,将其近似看作均匀薄片, 所有小块质量之和近似等于薄片总质量.),( lim 1 0 ii ni iM??????????x yo 定义设),(yxf 是有界闭区域D 上的有界函数,将闭区域D 任意分成n 个小闭区域1??,?, 2??,n??,其中i??表示第i 个小闭区域, 也表示它的面积,在每个i??上任取一点),( ii??, 作乘积),( iif?? i??,),,2,1(ni??, 并作和ii ni if??????),( 1 ,二、二重积分的概念积分区域积分区域如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数),(yxf 在闭区域 D 上的二重积分, 记为?? Ddyxf?),( , 即?? Ddyxf?),( ii ni if?????????),( lim 1 0 .积分和积分和被积函数被积函数积分变量积分变量被积表达式被积表达式面积元素面积元素(1) 在二重积分的定义中,对闭区域的划分是任意的. (2)当),(yxf 在闭区域上连续时,定义中和式的极限必存在,: 二重积分的几何意义当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值. 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域 D, ?????? D Ddxdy yxfdyxf),(),( dxdy d??故二重积分可写为 x yo D D 则面积元素为性质1 当为常数时,k .),(),( ????? D Ddyxfkdyxkf??性质2 ??? Ddyxgyxf?)],(),([.),(),( ?????? D Ddyxgdyxf??(二重积分与定积分有类似的性质) 三、二重积分的性质