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解决数学问题用好向量利剑
说明此题通过化归为平面几何问题， 结合向量共线充要条件， 使得问题的解决顺
其自然，而无需死记坐标公式。
四、解与二面角的大小有关问题
例 4:四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形， PB⊥平面 ABCD ，E、F 分别为 PA、PC 上的中点。
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求证：四棱锥的高取任意值（不为 0），平面 PAD 与平面 PCD 所成的二面角恒大于 90 °；
(2) 当四棱锥的高为何值时， PD⊥EFB平面。
证明（ 1）：以 B 为原点， BC 所在直线为 x 轴，BA 所在直线为 y 轴， BP 所在直
线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图 4。
设四棱锥高为 h ，则各点坐标为 A（0 ，a，0 ），C（a，0 ，0 ），P（0，0 ，h ）。
过点 B 作 BB1 ⊥ AP交 AP 于点 B1 ，则 B1 （0 ，y，z），（显然 z ≠ 0，）
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此题若要通过作二面角来解决问题， 显然求二面角还要继续作复杂的辅助线， 而
适当作些简单的辅助线， 借助构成二面角的两平面的法向量的夹角即可求得所求
二面角，明显的向量法避免了作一些较麻烦的辅助线的麻烦。 下面的例 5 同样体
现了这种思想。
例 5:已知四棱锥 P－ABCD 的底面为直角梯形， AB//DC ，∠ DAB=90 ° ,PA ⊥底
面 ABCD ，且 PA=AD=DC=12 ， AB=1 ，M 是 PB 的中点。
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这里如果用几何法， 找到二面角的平面角也许要花较多时间， 还不容易求对。 利
用空间向量解决立体几何问题时， 只要建立空间直角坐标系， 写出点的坐标， 求
出法向量，利用量向量夹角公式即可求，其中恰当建系，准确示点，是关键。要
适当地加强解题训练，并及时总结，感悟方法，提升能力。
五、证明公式和定理
向量所研究的内容大都与图形有关， 所以向量是数形结合的一个典范。 学好向量
这一章的内容， 能进一步促进学生对代数几何关系的理解， 运用代数几何化， 几
何代数化的方法从多角度思维， 对于培养学生正确的数学观有着重要的作用。 许
多平面几何定理如果利用向量来证明的显得既简单又好懂， 比如：在证明三角函
数中余弦的差角公式和余弦定理时， 课本上用了大量的篇幅来证明， 结果是老师
证