相似矩阵及二次型.ppt

相似矩阵及二次型
第1页，共46页，编辑于2022年，星期一
:,特征向量:
设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非零列向量 x 使
关系式 向量x的特征值,则:
,则 是矩阵kA对应于特征向量x的特征值.
( ≥2),则 是矩阵 对应于特征向量x的特征值.
是矩阵 对应于特征向量x的特征值.
4. 是 的特征值.
第14页，共46页，编辑于2022年，星期一
例:.-1,
(1)求矩阵 的特征值;
(2)求矩阵 的特征值;
第15页，共46页，编辑于2022年，星期一
第二节 矩阵相似于对角阵
第16页，共46页，编辑于2022年，星期一

:设 A、B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P，使
称 B 是 A 的相似矩阵,记为A∽B
矩阵P称为相似变换矩阵
:
(1)相似关系是等价关系(自反性,对称性,传递性),
(2)定理4：若 A 与 B 相似，则
(1) r(A)=r(B)
(2) |A|=|B|
(3)A 与 B 的特征多项式相同,则 A 与 B特征值也相同。
第17页，共46页，编辑于2022年，星期一

与B相似,求 的特征值.
,且 是A对应于特征值 的特征向量,证明: 为B对应于 的特征向量.
第18页，共46页，编辑于2022年，星期一
:若 n 阶矩阵 A 与对角阵
相似，则 称 A 可对角化。
:
第19页，共46页，编辑于2022年，星期一
注：设 A 的 n 个线性无关的特征向量为 ，
记矩阵 ，则 P 即为相似变换
矩阵，使 为对角阵。
即 P 为 A的n个线性无关的特征向量构成的矩阵
证:
:
(1)定理5:n 阶矩阵 A 与对角阵相似(即 A 能对角化)
A 有 n 个线性无关的特征向量
第20页，共46页，编辑于2022年，星期一
(3)推论2:
若A的每一个 重特征值有 个线性无关的特征向量,则A可对角化
(2)推论1:
若 n 阶矩阵 A有 n 个相异的特征值,则 A可对角阵化。
注:1)其逆命题不成立.
2)若 为单根,必对应一个线性无关的特征向量.
若 为重根,当 对应线性无关向量个数<n,A不能对 角化.
3)对角阵主对角线元素可由 构成,其顺序同P阵.
第21页，共46页，编辑于2022年，星期一
,求出P和对角阵.
第22页，共46页，编辑于2022年，星期一
:
结论:求 转化为求特征值及特征向量.
第23页，共46页，编辑于2022年，星期一
对应的特征向量为,
求A.
第24页，共46页，编辑于2022年，星期一
第三节 二次型的标准形
第25页，共46页，编辑于2022年，星期一
:
:1)含有 n 个变量 的二次齐次函数
称为二次型。当 为复数时， 称为复二次型；
当 为实数时， 称为实二次型。
2)：只含平方项的二次型，称为二次型的标准形（或法式）
若标准形的系数