线性代数标准正交基.ppt

线性代数标准正交基
第1页，共21页，编辑于2022年，星期一
设
为Rn 的一组基.
n+1个
n维向量
线性相关.
线性表示:
线性无关,
从而
可由
且表法唯一.
称为
在基
下的坐标.
线性代数标准正交基
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设
为Rn 的一组基.
n+1个
n维向量
线性相关.
线性表示:
线性无关,
从而
可由
且表法唯一.
称为
在基
下的坐标.
如
为R3 的一组基.
在此基下的坐标为
在此基下的坐标为
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为Rn 的标准基,
在基
下的坐标为
恰为α的分量.
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实数
称为向量和的内积.
记为T.
 和  的内积为
二、向量的内积
给定Rn中向量
如
T=
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两个n维实向量的内积
说明1)
2) 只有维数相同的
3) 设
则和的内积为
是一个实数.
两个向量才有内积.
本书的向量均为列向量，
故一般情况下，
两个向量的内积
记为T.
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和的内积为
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内积具有如下性质：
T ≥0,
T =0
（分配律）
（交换律）
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三、向量的长度

非负实数
称为向量的长度,
或向量的范数,
记为
对Rn中向量
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在 n 维空间Rn 中
例
都是单位向量.
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（k为实数）
向量的长度具有以下性质：
对任意向量和，
有
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对Rn中任意非零向量，
事实上，
用非零向量的长度
得到一个
称为把向量单位化。
单位向量,
与同
方向的
如
是单位向量.
如
去除向量,
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四、正交向量组
T=0,
则称与正交
如果
设
与正交
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在 n 维空间Rn 中
Rn 中的单位向量组
称为Rn 中的
时,
一般地,
两两正交.
1,2,…,n
正交单位向量组.
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则称向量组1, 2,…,s
如
是R3中的正交向量组.
注意：
两两正交,
为正交向量组.
每个向量
正交向量组中，
如果Rn中的非零向量组
即
正交单位向量组.
如果一个正交向量组中，
每个向量都是单位向量,
则该向量组称为
是正交单位向量组.
都不是零向量。
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证
一般地，
线性无关.
Rn中
是Rn中的正交向量组.
线性无关.
设
时,
设
的正交向量组
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在Rn 中,
n个向量
为Rn 的一个标准正交基.
如
为Rn 的标准正交基.
又如
为R3 的一组基.
满足：
中，
任意两个都正交；
则称
但不是R3 的标准正交基.
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五、施密特正交化方法
设向量组
是正交向量组,
且
线性无关，
令
≌
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则称Q为
说明
例
都是实数.
（3）
Q可逆，
五、正交矩阵
设n 阶实矩阵Q
正交矩阵.
正交矩阵
单位矩阵E
为正交矩阵
即正交矩阵的元素
n阶矩阵Q是正交矩阵

满足
必是实矩阵,
由
（2）
（1）
正交矩阵
一定是方阵.
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正交矩阵具有下列性质：
若Q是正交矩阵，
证
若Q为正交矩阵,
若