数列解题技巧(共20页).doc

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第四讲 数列与探索性新题型的解题技巧
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思路启迪：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。
解：第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，第3次全行的数都为1的是第=7行，······，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是
=32．
应填，32
考点2 数列的递推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列的通项.
再看“逐商法”即且，可把各个商列出来求积。
另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。
例3．（2007年北京卷理）
数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．
（I）求的值；（II）求的通项公式．
思路启迪：（1）由成公比不为的等比数列列方程求；
（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.
解：（I），，，
因为成等比数列，所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
（II）当时，由于
， ， ，，
所以．
又，，故．
当时，上式也成立，
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所以．
小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.
例4．（2006年广东卷）已知数列满足，，…．若， 则 ( B )
（Ａ） （Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５
思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.
解答过程：， .
相叠加.
， .
， ， ，.
解答过程2：由得：
，
，因为.
所以：.
解答过程3：由得：
…………，
从而 ；；……；.
叠加得：.
， .
， 从而.
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小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推，可转化为
；对连续三项递推的关系
如果方程有两个根，则上递推关系式可化为
或.
考点3 数列的通项与前n项和之间的关系与应用
与的关系：，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合。解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子.
例5．（2006年辽宁卷） 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
命题目的：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。
过程指引因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则
即，所以，故选择答案C.
{a n}中，S n表示前n项和且，求a n.
思路启迪：转化为只含或者只含的递推关系式.
解答过程1：由已知，得当n=1时，a1=1；当n≥2时，
a n= S n－S n－1，代入已知有，.
，又，故.
，是以1为首项，1为公差的等差数列，
故.
解答过程2：由已知，得当n=1时，a1=1；当n≥2时
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因为，所以.
，
，因为，
所以，所以.
考点4. 数列中与n有关的等式的理解与应用
对数列中的含n的式子，注意可以把式子中