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2002 全国大学生数学建模竞赛题目 A题车灯线光源的优化设计安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面, 车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径 36 毫米, 深度 毫米。经过车灯的焦点, 在与对称轴相垂直的水平方向, 对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。该设计规范在简化后可描述如下。在焦点 F 正前方 25 米处的 A 点放置一测试屏,屏与 FA 垂直, 用以测试车灯的反射光。在屏上过 A 点引出一条与地面相平行的直线, 在该直线 A 点的同侧取 B 点和 C 点,使 AC=2AB= 米。要求 C 点的光强度不小于某一额定值(可取为 1 个单位),B 点的光强度不小于该额定值的两倍(只须考虑一次反射)。请解决下列问题: (1 )在满足该设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小。(2 )对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。(3 )讨论该设计规范的合理性。 B题彩票中的数学近年来“彩票飓风”席卷中华大地, 巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列, 目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”采用“ 10选 6+1 ”方案: 先从 6组 0~9 号球中摇出 6 个基本号码, 每组摇出一个, 然后从 0~4 号球中摇出一个特别号码, 构成中奖号码。投注者从 0~9 十个号码中任选 6 个基本号码(可重复) ,从 0~4 中选一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“ abcdef+g ”为例说明中奖等级, 如表一(X表示未选中的号码)。表一中奖等级 10选 6+1 ( 6+1/10 ) 基本号码特别号码说明一等奖 abcdef g 选7 中( 6+1 ) 二等奖 abcdef 选7 中( 6) 三等奖 abcdeX Xbcdef 选7 中( 5) 四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 选7 中( 4) 五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选7 中( 3) 六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选7 中( 2) “乐透型”有多种不同的形式, 比如“ 33选7”的方案: 先从 01~33 个号码球中一个一个地摇出 7 个基本号,再从剩余的 26 个号码球中摇出一个特别号码。投注者从 01~33 个号码中任选 7 个组成一注(不可重复) ,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级, 不考虑号码顺序。又如“ 36选 6+1 ”的方案, 先从 01~36 个号码球中一个一个地摇出6 个基本号,再从剩下的 30 个号码球中摇出一个特别号码。从 01~36 个号码中任选 7个组成一注(不可重复) ,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。表二中奖 33选7( 7/33 ) 36选 6+1 ( 6+1/36 ) 基本号码特别号码说明基本号码说明特别号码一等奖●●●●●●●选7 中( 7) ●●●●●●★选7 中( 6+1 ) 二等奖●●●●●●○★选7中( 6+1 ) ●●●●●●选7 中( 6) 三等奖●●●●●●○选7 中( 6) ●●●●●○