轨迹方程.doc

东北师大附中2011-2012学年高三数学（理）第一轮复习导学案53
轨迹与轨迹方程
编写教师：夏文显 审稿教师：周仁哲
知识梳
又，所以为线段的中点,设点的坐标为
点的坐标为（），则
因此 ①
由得 ②
将①代入②，可得
当时，轨迹为点（，0）和点（－，0）.
综上所述，点的轨迹的方程是
解法二：定义法
设点T的坐标为
当|时，由，得.
又，所以为线段的中点.
在△中，，所以有
当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
综上所述，点的轨迹的方程是
探究4 参数法
例4设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点是坐标原点，点满足，当绕点旋转时，求：动点的轨迹方程．
解：直线过点设其斜率为，则的方程为
记、由题设可得点的坐标、是方程组
的解，化简得，，所以
于是
设点P的坐标为则消去参数得
当不存在时，中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点的轨迹方程为
探究5 交轨法
例5 一条双曲线的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点，求直线与交点的轨迹的方程.
解：（1）由题设知，则有
直线的方程为， ① 直线的方程为， ②
解法一：
联立①②解得交点坐标为， ③
则. 而点在双曲线上，.
将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为.
解法二：
设点是的交点，①×②得 ③
又点在双曲线上，因此，③式整理得.
因为点P，Q是双曲线上的不同两点，所以它们与点均不重合，故点均不在轨迹E上.
过点（0,1）.
故轨迹E不经过点（0,1）.同理轨迹E也不经过点（0,-1）.
综上分析，轨迹E的方程为.
方法提升
求轨迹方程时，一般先观察能否根据条件直接判断轨迹是什么图形，设出方程，，若能直接列出则为直接法，否则寻求动点的坐标与其他动点的坐标的关系即相关点法，或寻求动点坐标与其它参数的关系，，消去多余参数获得方程.
课时作业
（一）选择题
，则动圆圆心的轨迹为（ C ）
圆 椭圆 双曲线的一支 抛物线。
，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是 （ D ）
和
和
、，动点，则点的轨迹是（D ）
圆 椭圆 双曲线 抛物线
，为坐标原点，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形
，则动点的轨迹是 （ B ）
椭圆 两条平行直线 抛物线