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ch4根轨迹
2021
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又因为一对纯虚根必为数值相同，符号相反的根，所以用劳斯表s2行的系数可以构成辅助方程。
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（起始角与终止角）
出射角：位于复平面上的开环极点，根轨迹离开此极点与正实轴的夹角。
入射角：位于复平面上的开环零点，根轨迹进入此零点与正实轴的夹角。
例 求以下特征方程的根轨迹。
解：
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其等效传递函数为
其渐近线为
其出射角为
σ
j
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设系统的闭环特征方程为
当 时
说明在开环极点确定的情况下，根之和是一个不变的常数。所以当开环增益Kg增大时，若闭环某些根在S平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。
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根据K*值，通常用试探法先确定在实轴上的闭环极点，然后确定其它的闭环极点。
例6 确定 K*=4 的闭环极点。
因为已知分离点
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于是可知 K*=4 对应的闭环极点在分离点两侧。经过若干次试探，找出满足模值条件的两个闭环极点
另外两个根可以从特征方程求出
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四. 系统根轨迹的绘制和开环零、极点对根轨迹的影响
1、根轨迹的绘制
（1）系统阶次较低（三阶以下）时，求分离点可用
求与虚轴的交点可用
（2）系统阶次高时，求分离点、会合点可用
求与虚轴的交点可用劳斯定理。
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，使根轨迹往左移。
例 已知系统结构图如下
R(s)
Y(s)
R(s)
Y(s)
j
σ
j
σ
-1/τ
四. 开环零、极点对根轨迹的影响
注：正向通道内适当引入零点，
将使根轨迹向左偏移，能改善系统动态品质。
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，使根轨迹往右移。
例 已知系统结构图如下
R(s)
Y(s)
R(s)
Y(s)
j
σ
j
σ
注：在二阶系统附加一个极点，随着K增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。
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根轨迹作图步骤
一、标注开环极点和零点；
二、实轴上的根轨迹；
三、根轨迹的分离点、会合点；
四、n-m条渐近线；
五、根轨迹与虚轴的交点；
六、根轨迹的出射角、入射角；
结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹。
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例 已知系统的结构图如下所示
试画出其根轨迹。
解：（1）系统有三个开环极点（起点）：
（2）实轴上有根轨迹的区间为[0，-1]，[-4，-∞]。
（3）根轨迹的分离点可按以下公式计算
解此方程得
因为在[-1，-4]区间不可能有根轨迹，所以分离点应为
（4）根轨迹的渐近线
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（5）根轨迹与虚轴的交点
令 ，得
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广义根轨迹

绘制步骤：
（1）求出原系统的特征方程；
（2）以特征方程中不含该参量的各项除特征方程，得等效系统的开环传递函数。
（3）根据上一节介绍的根轨迹绘制规则，绘制等效的根轨迹，即得原系统的参量根轨迹。
系统特征方程如下式所示：
以所选可变参量α代替Kg的位置
等效开环传递函数为
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例 已知系统的结构图如下所示
试画出以a为参量的根轨迹。
解：（1）求系统特征方程
（2）两边同除以
R(s)
-
Y(s)
j
σ
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在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数的零、极点时，就
需研究这些零、极点取不同值时对系统性能的影响。为此，
需要绘制几个参数同时变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将
是一组曲线，称为根轨迹簇。
三. 几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇）
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解 系统闭环特征方程为
先令 ，则上式变为
例 一单位反馈控制系统如图所示，试绘制以K和a为参数的根轨迹。
或写作
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作出 对应的根轨迹，
时，以a为参变量的根轨迹？
把闭环特征方程改写为
令
令
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它的极点为，零点为0。不难证明，对应特征方程的根轨迹为一圆弧，其方程为
若令K=9，则
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如果系统的特征方程的形式 为1-G(s)H(s)=0,