线面角与面面角.docx

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BC的射影D应是△ABC的外心，
即D∈AB．∵PD⊥AB，PD面ABP，
由面面垂直的判定定理知，面ABP⊥面ABC．
（2）解法1  取PB中点E，连结CE、DE、CD．
∵△BCP为正三角形，∴CE⊥BD．
△BOD为等腰直角三角形，∴DE⊥PB．∴∠CED为二面角C-BP-A的平面角．
又由（1）知，面ABP⊥面ABC，DC⊥AB，AB＝面ABP∩面ABC，
由面面垂直性质定理，得DC⊥面ABP．∴DC⊥DE．因此△CDE为直角三角形．
设，则，，．
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例3．如图所示，在正三棱柱中，，截面侧面．
(1)求证：；
(2)若，求平面与平面
所成二面角(锐角)的度数．
证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥AC，G是垂足，如图，
∵面AEC⊥面AC，∴EG⊥侧面AC．
取AC的中点F，分别连结BF和FC，由AB＝BC得BF⊥AC．
∵面ABC⊥侧面AC，∴BF⊥侧面AC，
得BF∥EG．BF和EG确定一个平面，交侧面AC于FG．
∵BE∥侧面AC，∴BE∥FG，四边形BEGF是 ，BE＝FG．
∴BE∥AA，∴FG∥AA，△AAC∽△FGC．
解：(2)分别延长CE和C1B1交于点D，连结AD．
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∵∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝90°，即 DA⊥AC．
∵CC⊥面ACB，
由三垂线定理得DA⊥AC，所以∠CAC是所求二面角的平面角．且∠ACC＝90°．
∵CC＝AA＝AB＝AC，∴∠CAC＝45°，即所求二面角为45°．
说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．
三、作业：
1．已知平面a的一条斜线a与平面a成q角，直线bÌa，且a,b异面，则a与b所成的角为
（A）
A．有最小值q，有最大值 B．无最小值，有最大值。
C．有最小值q，无最大值 D．有最小值q，有最大值p-q。
2．下列命题中正确的是 （D）
A．过平面外一点作该平面的垂面有且只有一个
B．过直线外一点作该直线的平行平面有且只有一个
C．过直线外一点作该直线的垂线有且只有一条
D．过平面外的一条斜线作该平面的垂面有且只有一个
3．一条长为60的线段夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别为
45°和30°，这条线段的两个端点向平面的交线引垂线，则垂足间的距离是 （A）
A．30 B．20 C．15 D．12
4．设正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E