2053几何应用,习题课.ppt

为任意常数且
ki
31
因为, 如果AX=0, 则AT (AX)=0, 所以
(I)的解都是(II)的解.
设A为mn阶实矩阵, 则方程组
(I):AX=0, (II):ATAX=0为同解方程组.
例11
为任意常数且
ki
31
因为, 如果AX=0, 则AT (AX)=0, 所以
(I)的解都是(II)的解.
设A为mn阶实矩阵, 则方程组
(I):AX=0, (II):ATAX=0为同解方程组.
例11
所以(II)的解也是(I)的解.
又AXRm
AX＝0.
故 (I) 与(II)同解.
证
反之, 若X Rn 是ATAX=0的任一解, 则有
XT(ATAX) =0
即 (AX) TAX = |AX|2 = 0
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本题可进一步得出
r(A)=r(ATA)
因为AX=0与ATAX=0同解，, 即n-r(A)=n-r(ATA).
所以 r(A)=r(ATA).
若A为mn 阶实矩阵,则
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预 习
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《线性代数与空间解析几何》
第二十三讲
哈工大数学系代数与几何教研室
王 宝 玲
特征值与特征向量
第六章 特征值、特征向量 及相似矩阵
35
.
特征值与特征向量的概念；
特征值与特征向量求法；
特征值与特征向量的性质；
实对称阵的特征值与特征向量.
本节的主要内容
36
在工程技术中有许多与振动和稳定性有关的问题（如：机械、电子、土木、化工、生态学、核物理、弹性力学、气体力学), 在数学中, 解微分方程组及简化矩阵的计算等, 都会遇到这样的问题：
1. 对于给定的3阶方阵A, 是否存在非零列
向量X,使向量AX与X平行？
2. 如果存在这样的X, 则该如何求这个X ？
AX=X
问题的提出：
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设
则对于
有
而对于
可见有些向量X, 有AX与X平行这个性
质,而其它向量则没有这个性质. 有这样性
质的向量称为特征向量.
例1
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设A是n阶方阵,若存在数  及非零列
向量X, 使得
则称  是A的特征值, X是A的属于
特征值  的特征向量.
特征值与特征向量的概念
=0,则A0=0,()成立.
:向量AX=
注
AX= X,
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求方阵A的特征值:
称
即
为矩阵A的特征多项式,
征值的问题就转化为求特征方程根的问题.
AX=  X(X 0)
有非零解
为矩阵A的特征方程,求矩阵特
2. 特征值与特征向量的求法
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求方阵A的特征向量:
求
所对应的特征向量问题就转化为
求齐次线性方程组的非零解问题.
由齐次线性方程组解的性质知特征向
量有以下2条性质:
(1)X是属于 的特征向量,则
(2) 是属于 的特征向量,则
的非零解
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对A的特征值 ,称方程组
的解空间 为A的关于特征值
的特征子空间.
特征子空间:
求A的特征值与特征向量的步骤如下:
(1)由 求A的特征值
(2)分别把A的每个特征值 代入方程组
, 求出它的基础解系.
则基础解系的所有非零线性组合就是
A的属于 的全部特征向量.
42
预习
(^-^), Bye!
43
谢谢聆听
2008年安全评价人员教育培训