4.7正弦定理、余弦定理.docx

、余弦定理
、余弦定理
、余弦定理
2
1
3
3
＝2×2×
2 AC ＝ 2 ，所以 AC＝1，
所以 BC2＝ AB2＋ AC2－ 2AB·ACcos 60 ＝°3，
、余弦定理
、余弦定理
、余弦定理
所以 BC＝ 3.
、余弦定理
、余弦定理
、余弦定理
3． (2015 北·京 )在△ ABC 中， a＝ 4，b＝ 5， c＝6，则 sin 2A＝ ________.
sin C
答案 1
分析 由余弦定理：
cos A＝
b2＋ c2－ a2
25＋ 36－ 16
3，
2bc
＝
＝
2× 5×6
4
sin A＝ 47，
a2＋ b2－ c2
16＋ 25－ 36
＝1，
cos C＝
2ab
＝
2× 4×5
8
3
7
sin 2A
2×3× 7
∴ sin C＝
4
4
＝ 1.
8 ， ∴ sin C ＝
3
7
8
4．在△ ABC 中，若 bcos C＋ ccos B＝asin A，则△ ABC 的形状为 ________三角形．
答案 直角
分析 由已知得 sin Bcos C＋cos Bsin C＝ sin2A，
sin(B＋ C) ＝sin2A，
sin A＝sin2A，
π
又 sin A≠0， ∴ sin A＝ 1， A＝2，
∴△ ABC 为直角三角形．
5．在△ ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a，b， c，已知 bcos C＋ 3bsin C－a－ c＝ 0，则
角 B＝ ________.
、余弦定理
、余弦定理
、余弦定理
答案

π
3
、余弦定理
、余弦定理
、余弦定理
分析 由正弦定理知，
sin Bcos C＋ 3sin Bsin C－ sin A－ sin C＝ 0.
sin A＝sin(B＋C)＝ sin Bcos C＋ cos Bsin C，
代入上式得 3sin Bsin C－ cos Bsin C－ sin C＝ 0.
sin C＞0， ∴ 3sin B－ cos B－ 1＝ 0，
π
π
1
∴ 2sin B－6
＝ 1，即 sin B－ 6
＝2.
、余弦定理
、余弦定理
、余弦定理
π
∵ B∈ (0， π)， ∴ B＝ 3.
题型一
利用正弦定理、余弦定理解三角形
例 1 (1) 在△ ABC 中，已知 a＝2， b＝ 6， A＝ 45°，则知足条件的三角形有
________个．
2
2
(2)在△ ABC 中，已知 sin A∶ sin B＝ 2∶ 1，c
＝ b ＋ 2bc，则三内角 A，B，C 的度数挨次是
________．
1
π
(3)(2015 广·东 )设△ ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为 a， b， a＝ 3， sin B＝2， C＝
6，
则 b＝________.
答案 (1)2 (2)45 °，30°， 105° (3)1
分析 (1) ∵bsin A＝ 6×
2
＝
3， ∴ bsin A<a<b.
2
∴ 知足条件的三角形有 2
个．
(2)由题意知 a＝ 2b， a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A，
即 2b2＝b2＋c2－2bccos A，又 c2＝ b2＋ 2bc，
cos A＝ 22， A＝45°， sin B＝ 12，又 A>B， ∴B＝ 30°，∴ C＝105°.
1
π
5π
(3)因为 sin B＝2