【立体几何专题】2.几何体中的外接球问题.docx

【立体几何专题】
本次课重点讲了两类几何体：长方体〔正方体〕,三棱锥〔重点是正四面体〕,需要重点掌握长 方体和正四面体中外接球的求法,另外正四面体中有一些可以直接拿来用的公式结论,需要重点 记忆.
高考中涉及外接
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本次课重点讲了两类几何体：长方体〔正方体〕,三棱锥〔重点是正四面体〕,需要重点掌握长 方体和正四面体中外接球的求法,另外正四面体中有一些可以直接拿来用的公式结论,需要重点 记忆.
高考中涉及外接球问题的几何体多半是较为规整的几何体,三棱锥居多,所以在做三棱锥的外接 球问题时看看能否把三棱锥补成长方体来解,另外这也是割补法中三棱锥求体积的常见做法.
立体几何中跟外接球或内切球有关的问题
球的体枳公式：V ^-7Fr 1
3
球的面积公式：5=4疔户.
,S二瓜1 r = —d3, R = — 〔K为内切球半径
12 S
直角三角形内切画的半径五二巴上J 外接倒半位产二£ 〔.为斜边〕-
2 2
一、常她的涉及外接球和内切球的几何体：.
L在?方体中,边长分别是2瓦金 那么氏方体外接球的自径为长方体体对年线,半径为体
对角级的一半,即r二八在正方体中,及边长为.,正方体外接球的半行为 2
r = , 2
四面体中,〃,那么正四面体
厂 厂 厂
的高方二乂―口,外哎魂的产径广二匹口,内切球的半往衣二zL白懈注足卜占：」
3 4 12
从四中可知道,.百田是外接球的球心3是内用球的球心,
所以4q - h-
% + 0Q=r + R.
AE^—a. O1E = -BE = - a
二老〃.由勾股足理解得广二好口
2 3 6
在A00/中,OB = . =h-r = ^-a-r. BOX
所以R二j二2白
12
二、用补形法解决空间几何体的外接球问题〔补成长方体或正方体〕
.对棱长相等的四面体可以补成长方体或正方体.
原理：正方体或长方体的三对对面是全等的,所以对面的对角线也相等.
例1；花三棱慌D —NEC中,AB-CD^6iAC^BD-AD^BC = 5,求三棱推外接
耳的£面枳.,
解析:如何补的见F图所示.
可得出补工之后的长方体的长宽语分别是3 丸£ J7 4
. ^18 + 18 + 7 囱 n ,石
典氏方希外接BI的半4t r= 9S - 4网产—43笈「
.正四面体可补成正方体.
啊彼补成正方体,或正方体切 体的外槎球和正四面体的外接球 .,
例入 校长为、伤的正四面体的顶点氽都在 个球而匕 求外接球的去而枳: p
解析：将四面体补成正方体,根讷愧长为可知正方体的边长为L羽正次体的外接球
出 ,
的 ,卜杜 r = — , S — 41r — 3jt *,
.两个面互相垂直的三棱锥可以补成长方体或正方体. 原理：线面垂直,可以看成长方体或正方体的一个角
例为 •:枝旌的外接琼,DA IflT^ ABC. AB 1 BC, DA二八B