概率论与数理统计公式.docx

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第1章 随机事务及其概率
〔1〕排列组合公式
从m个人中挑出n个人进展排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进展组合的可能数。
〔2〕加法和乘法原理
加法原理〔两种方法均能完成此事〕：m+n
某件事由两种方
2°，
那么有
。
〔16〕贝叶斯公式
设事务，，…，及满足
1° ，，…，两两互不相容，>0，1，2，…，，
2° ，，
那么
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，〔，，…，〕，通常叫先验概率。，〔，，…，〕，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
〔17〕伯努利概型
我们作了次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；
次试验是重复进展的，即发生的概率每次均一样；
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每次试验是独立的，即每次试验发生及否及其他次试验发生及否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
用表示每次试验发生的概率，那么发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，
，。
其次章 随机变量及其分布
〔1〕离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事务(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
那么称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
明显分布律应满足以下条件：
〔1〕，， 〔2〕。
〔2〕连续型随机变量的分布密度
设是随机变量的分布函数，假设存在非负函数，对随意实数，有
，
那么称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面4特性质：
1° 。
2° 。
〔3〕离散及连续型随机变量的关系
积分元在连续型随机变量理论中所起的作用及在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
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〔4〕分布函数
设为随机变量，是随意实数，那么函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间〔– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即时，有 ；
3° ， ；
4° ，即是右连续的；
5° 。
对于离散型随机变量，；
对于连续型随机变量， 。
〔5〕八大分布
0-1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布
在重贝努里试验中，设事务发生的概率为。事务发生的次数是随机变量，设为，那么可能取值为。
， 其中，
那么称随机变量听从参数为，的二项分布。记为。
当时，，，这就是〔0-1〕分布，所以〔0-1〕分布是二项分布的特例。
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泊松分布
设随机变量的分布律为
，，，
那么称随机变量听从参数为的泊松分布，记为或者P()。
泊松分布为二项分布的极限分布〔np=λ，n→∞〕。
超几何分布
随机变量X听从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X听从参数为p的几何分布，记为G(p)。
匀整分布
设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b]上为常数，即
 
a≤x≤b
其他，
那么称随机变量在[a，b]上听从匀整分布，记为X~U(a，b)。
分布函数为
 
a≤x≤b
0， x<a，
 
 
1， x>b。
 
当a≤x1<x2≤b时，X落在区间〔〕内的概率为
。
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指数分布
,
 
0, ,
 
 
 其中，那么称随机变量X听从参数为的指数分布。
X的分布函数为 ,
x<0。

 
 
 
记住积分公式：
正态分布
设随机变量的密度函数为
， ，
其中、为常数，那么称随机变量听从参数为、的正态分布或高斯〔Gauss〕分布，记为。
具有如下性质：
1° 的图形是关于对称的；
2° 当时，为最大值；
假设，那么的分布函数为
。
参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为
，，
分布函数为
。
是不行求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。
假如~，那么~。
。
〔6〕分位数
下分位表：