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四面体外接球的球心、半径求法

出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解
【例题】：已知在三棱锥 A BCD 中， AD  面ABC ， BAC 120 ，
AB  AD  AC  2 ，求该棱锥的外接球半径。 z
D
解：由已知建立空间直角坐标系
A(0，0，0) B(2，0，0) D(0，0，2)C(1，3，0)
A C
y

x B
由平面知识得


设 球 心 坐标 为 O(x, y, z) 则 AO  BO  CO  DO , 由空 间 两 点间 距 离公 式知
x2  y2  z2  (x  2)2  y2  z2 x2y2z2x2y2(z2)2
x2  y2  z2  (x 1)2  (y  3)2  z2
3
解得 x1 y z1
33 21
所以半径为 R  12 （ ）2 12 
3 3
2 2 2
【结论】：空间两点间距离公式： PQ  (x1  x2 )  (y1  y2 )  (z1  z2 )
四、四面体是正四面体
处理球的“内切”“外接”问题
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中
也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认
真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃
而解。
一、棱锥的内切、外接球问题
例 ？
分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系
解之。
解：如图