应用最小二乘一次完成法和递推最小二乘法算法的系统辨识讲解.docx

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灘二
请分别用最小二乘一次完成算法和递推最小二乘法对以下数学模型进行参 数辨识：
v(jt) + 珂 y(fc-1) + a2y(fc-2)=^ u(k-l) + &2 u(k-2) + V(lc)
式中，理想的T8
lim
N T8
C 2
~N
R-1 = 0, w.
上式表明当N—g时，e以概率1趋近于e。
当§ (k)为不相关随机序列时，最小二乘估计具有无偏性和一致性
3)有效性
如果式()中的§的均值为0且服从正态分布的白噪声向量，则最小二乘参数估计值 为有效值，参数
估计偏差的方差达到Cramer-Rao不等式的下界，即
Var0 =eE \Ot①丄1 丄 M-1
式中M为Fisher矩阵，且
4)渐近正态性
(y/0)T dInp(y/0)
d In p / e
)
)
ae
ae
如果式()中的F是均值为0且服从正态分布的白噪声向量，、则最小二乘参数估计值e服从正态分布, e N 2E {Ot①)
)
递推最小二乘法
为了实现实时控制，必须采用递推算法，这种辨识方法主要用于在线辨识
设已获得的观测数据长度为n,贝y Y二①e+©
NNN
0 二（①T①I1①T Y
N N N N N
)
估计方差矩阵为
Var0 =c 2 (①t ① 丄1 =◎ 2P
N N N
P =(①T①L
N N N
0 = P ① t Y
N N N N
式中
于是
如果再获得 1 组新的观测值，贝又增加 1 个方程
y =屮T 0+E
N +1 N +1 N +1
得新的参数估计值
0 = P (① tY +屮 y )
N +1 N +1 N N N +1 N +1
式中
「①］
T
「①1
<
N.-
N.-
>
屮T
屮T
、-
L N+1」
L N+1」
P =
N+1
=(P-1 +屮屮T丄1
N N +1 N +1
应用矩阵求逆引理，可得P和P的递推关系式
N+1 N
矩阵求逆引理 设A为nXn矩阵，B和C为nXm矩阵，并且A,
A+BCT和I+CTA-1B都是非奇异矩阵,
则有矩阵恒等式
(A + BCt L = A-1 - A-iB(I + CtA-iBL CtA-i
)
得到递推关系式
P = P 一 P 屮(I +屮 tP 屮 L屮 T P
N+1 N N N+1 N N N+1 N +1 N
由于屮TP屮 是标量，因而上式可以写成
N N N +1
P = P - P屮 1 +屮TP屮 口屮T P
N +1 N N N +1 N N N +1 N +1 N
最后，得最小二乘法辨识公式
八 八 I /\ I
「0 =0 + K Vy -屮t 0 丿
N+1 N N+1 N+1 N+1 芒
K = P 屮 G +屮 TP 屮)_1
N+1 N N+1 /N N N+1 、
j P = P 一 P屮 I +屮T P屮屮T P
N +1 N N N +1 N +1 N N +1 N +1 N
)
)
有 2 种给出初值的办法
(1)设NO (N0>n)为N的初始值，可算出
)
P = 6t ①)_1 , 0 = P ① T Y
N O NO N O NO NO N O NO
(2)假定『=0,P = c21,C是充分大的常数，I为(2n+l) X(2n+1 )单位矩阵，则经过若干次递推之后能得到 00
较好的参数估计。[1][2][4]
2两种算法的实现方案
最小二乘法一次完成算法实现
如果把式()中的O'取好足够的输入一输出数据以后一次计算出来，那么这种算法就式最小二乘法的一
次完成法。
最小二乘一次完成算法程序框图

一次完成法程序 具体程序参见附录4
一次完成算法程序运行结果
ans =
a1 =

a2 =

b1 =

辨识数据比较
八
9
八 a
1
八
a
2
八
b1
八
b2




参数真值




误差
0
0
0
0
程序运行曲线
10 20
O
0
^)1(33输散离
50
O
J—