球面正弦余弦定理证明.docx

§ 4球面余弦定理和正弦定理
平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性，到了平面三角
学，把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。其中最根本的就是三角 形的余弦定理：设三角形 ABC的三条边分别是a、 b、 c ,它a〕•(cx b)=sm 951nle©s° 由［a* 扪•(a
x c)=
sin e sin/? cos /
= coS3 一
cosicosc
所以…-1 ・ ： ।；・
同理
可证
cosb = cosacosic + sin a sin treesB
cos^ = cos^cos-fe + sin a sin ices C
当单位球面上的球面三角形三边都小于 2时，可以用平面三角余弦定理证明球面 三角余弦定理。证明如下：
取球面三角形将各顶点与球心O连接，过顶点A作b,c边的切线，分别 交OC,OB的延长线于N,M,由此得到两个平面直角三角形月队AEN和两个 平面三角形”0M凯为必\在心。班 中，根据平面三角形的余弦定理，有
2cM口。同理在 A24M 中
叱二工产十•二2工城,枷3 A因此
0犷 WM2-2OM 0MC8A工产+ 2AM-HMcxH 即
0A 0A , AM AN A
q - - COB — COSS
2。必-2Q!/(Wc9 = -即加加0M因即
得2s式=8$配80+血占血。。。£』同理可证
cosi = costicosc + sin ci sin <?cosB
coc^ = cos^ccsi + sin sin icos C
〔证法2〕证明：设球心为 O,连接OA、OB、OC,那么
ZAOS = erZAOC = bXBOC = n
图4-2
过点A做她的切线交直线OB于D ,过点A做射的切线，交直线OC于E, 连接DE〔如图4-2所示〕。显然，AD-L AO , AE± AO ,在直角三角形OAD中,
AO=1 ,
AD= '''''tanr ,
1 _ 1
OD=cosc 0
在直角三角形OAE中，
AE二团 3gl'三tanb ,
1 _ 1
OE=g 乙40c cqE。
注意" 二2四0。在三角形ODE中，利用平面三角形的余弦定理〔定理 〕，
DE2 = ON +。砂一20D OE^ABOC
12
——：COSd
〔1〕
cos A cosr cosd
DE2 =AD2+AEa-
在三角形ADE中,
-tanked- tan3b -2tan£ - tanbcosZA
〔2〕
因为〔1〕式与〔2〕式左端相等，所以右端也相等，经化简整理，即得
cosa = cosb - cose 4 smb - sine - cosZA
o
类似地可以得到另外两式
A=1
当三角形有一个内角为直角时，比方2，那么由球面三角余弦定理有
=0这恰好是平面几何中的勾股定理在球面几何中的对应物，但
形式上有了很大差异。我们称之为球面勾股定理。〔球面三角正弦定理〕
在单位球面上，对于任给球面三角形,其三边巴匕《和三角总比。恒满足 下述函数关系
sin A sin D sin C
sin a sin b £in 匚’
证明：因为上述三个比值都是