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函数极限
§1 函数极限概念
1、按定义证明下列极限:
(1) (2);
(3) (4) ;
(5)
2、参照定义2正面陈述.
证明: .
证明,.

§1 函数极限概念
1、按定义证明下列极限:
(1) (2);
(3) (4) ;
(5)
2、参照定义2正面陈述.
证明: .
证明,.

的充分必要条件是.

(1); (2); (3)
: .
:对黎曼函数有,(当或1时,考虑单侧极限)
§2 函数极限的性质
1、求下列极限:
(1); (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) (、为自然数);
(6) ; (7) ,();
(8) ; (9) ;
(10)
:
(1) ; (2) .

若极限与都存在,则,在时极限也存在,且
(Ⅰ) ;
(Ⅱ) ;
(Ⅲ)若,则在时极限存在,且有.
,,,,
试求.
,证明:若,则.
: .
,,
问若在内有,是否有?为什么?
证明:若,而存在,使得,.
(其中为自然数):
(1) ; (2) ;
(3) ;
(4) ; (5) .
: .又问是否也有?
§3 函数极限存在的条件
,并用它证明不存在.
,证明存在的充要条件是在上有上界.
3. (1)叙述存在的柯西准则;
(2)正面陈述极限不存在的概念;并用它证明不存在.
,证明:若对任何数列,且,极限都存在,则所有这些极限都相等.
,证明和都存在,
且,
,,证明不存在.
证: 由第一章§3知
取,对任何,由有理数与实数的稠密性可知,在中必有有理数和无理数，即，使得，，
于是有，
从而由柯西准则知不存在.
: 假设不恒等于0,则存在,使,
又因为周期函数,不妨设周期为,记,则 (),
由作法知 (1)
又因,由归结原则有 (2)
与(2)矛盾,故.
.
§4 两个重要极限
1、求下列极限:
(1); (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) ;
(7) ; (