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天一专升本高数知识点
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第一讲 函数、极限、连续
1、基本初等函数的定义域、值域、图像，特别是图像包括了函数的全部信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性
奇函数： x) 都存在
x
x0
x x0
可去中断点：lim f ( x)
lim f (x)
x x0
x x0
跳跃中断点：lim f ( x)
lim f (x)
x x0
x x0
注：在应用时，先判断能否是“第二类中断点” ，左右只需有一个不存在，就是“第二类”而后再判断能否是第一类中断点；左右相等是“可去” ，左右不等是“跳跃”
10、闭区间上连续函数的性质
（ 1）
最值定理：假如
f ( x) 在 a,b 上连续，则
f (x) 在 a, b 上必有最大值最小值。
（ 2）
零点定理：假如
f (x) 在 a,b 上连续，且
f ( a) f (b) 0 ，则 f (x) 在 a,b
内起码存在一点
，使得 f ( )
0
第三讲 中值定理及导数的应用
1、 罗尔定理
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假如函数

y

f (x) 知足：（ 1）在闭区间

a, b

上连续；（ 2）在开区间（

a,b ）内可导；（ 3）

f (a)

f (b) ，
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则在 (a,b)

内起码存在一点

，使得

f (

)

0
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记忆方法：脑海里记住一幅图：
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a b
2、 拉格朗日定理
假如 y
f ( x) 知足（ 1）在闭区间 a,b 上连续
（ 2）在开区间（ a,b ）内可导；
则在 (a,b)
f (b)
f (a)
内起码存在一点
，使得 f ( )
a
b
脑海里记住一幅图：
a b
（ * ）推论 1 ：假如函数 y f ( x) 在闭区间 a, b 上连续，在开区间（ a,b ）内可导，且 f (x) 0 ，那么
在 (a, b) 内 f ( x) =C 恒为常数。
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记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为

0。
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（* ）推论

2：假如

f (x), g( x) 在

a, b

上连续，在开区间

(a,b) 内可导，且

f ( x)

g ( x), x

(a,b) ，
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那么 f ( x) g( x) c
记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等
3、 驻点
知足 f ( x) 0 的点，称为函数 f (x) 的驻点。
几何意义：切线斜率为 0 的点，过此点切线为水平线
4、极值的观点
设 f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，假如对于该邻域内的任一点 x, 有 f (x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 ) 为函数
f (x) 的极大值， x0 称为极大值点。
设 f ( x) 在点 x0 的某邻域内有定义，假如对于该邻域内的任一点 x, 有 f (x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 ) 为函数
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f (x) 的极小值， x0 称为极小值点。
记忆方法：在图像上，波峰的极点为极大值，波谷的谷底为极小值。
5、 拐点的观点
连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。
注 y