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第一讲 函数、极限、连续
1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。
2、函数的性质，奇偶性、有界性
奇函数： f ( x) f ( x) ，图像关于原点对称。
偶函数： f ( x) f ( x) ，图像关于 y 轴对称
3、无穷小量、无穷大量、阶的比较
设 α，β是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则
（ 1）若
lim
α
0
，则
α
β
是比
高阶的无穷小量。
β
α
c （不为
α
（ 2）若
lim
β
0），则
与 β是同阶无穷小量
特别地，若 lim α 1
，则 α与 β是等价无穷小量
β
（ 3）若 lim α
，则 α与 β是低阶无穷小量
β
记忆方法：看谁趋向于
0 的速度快，谁就趋向于
0 的本领高。
4、两个重要极限
（ 1） lim sin x
lim
x
1
x 0
x
x
0 sin x
使用方法：拼凑
lim sin
lim sin
0 ，一定保证拼凑
sin 后面和分母保持一致
0
0
1
x
1
（ 2） lim
1
lim (1
x) x
e
x
x
x
0
1
lim (1
)
e
0
使用方法
1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。
a0 , n
m
5、 lim Pn
x
b0
0, n
m
x
Qm
X
, n
m
Pn
x 的最高次幂是
n,Qm x 的最高次幂是
m.,只比较最高次幂， 谁的次幂高， 谁的头大， 趋向于无穷大的速度
快。 n
m ,以相同的比例趋向于无穷大； n
m ，分母以更快的速度趋向于无穷大；
n m ，分子以更快的速
度趋向于无穷大。
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7、左右极限
左极限： lim f ( x)
A
x
x0
右极限： lim f ( x)
A
x
x0
lim f ( x)
A充分必要条件是 lim f ( x)
lim f ( x) A
x x0
x x0
x x0
注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。
8、连续、间断
连续的定义： lim
y
lim
f (x0x) f ( x0 ) 0
x
0
x 0
或 lim
f (x)
f ( x0 )
x x0
间断：使得连续定义
lim
f ( x) f ( x0 ) 无法成立的三种情况
x x0
f (x0 )不存在， f ( x0 )无意义
lim f ( x)不存在
x x0
lim f ( x)
f ( x0 )
x x0
记忆方法： 1、右边不存在
2、左边不存在
3、左右都存在，但不相等
9、间断点类型
（ 1）、第二类间断点：
lim
f ( x) 、 lim
f ( x) 至少有一个不存在
x
x0
x x0
（ 2）、第一类间断点：
lim
f ( x) 、 lim
f ( x) 都存在
x
x0
x x0
可去间断点：lim f ( x)
lim f (x)
x x0
x x0
跳跃间断点