高数下册知识点.docx

IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
高数下册知识点修订版
高等数学下册知识点
第八章 空间解析几何与向量代数
向量及其线性运算
偏导数连续
充分条件
必要条件
定义
1
2
2
3
4
闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）
微分法
定义：
复合函数求导：链式法则
若，则
，
隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）
应用
极值
无条件极值：求函数的极值
解方程组 求出所有驻点，对于每一个驻点，令
，，，
若，，函数有极小值，
若，，函数有极大值；
若，函数没有极值；
若，不定。
条件极值：求函数在条件下的极值
令： ——— Lagrange函数
解方程组
几何应用
曲线的切线与法平面
曲线，则上一点（对应参数为）处的
切线方程为：
法平面方程为：
曲面的切平面与法线
曲面，则上一点处的切平面方程为：
法线方程为：
第十章 重积分
二重积分
定义：
性质：（6条）
几何意义：曲顶柱体的体积。
计算：
直角坐标
，
，
极坐标

三重积分
定义：
性质：
计算：
直角坐标
-------------“先一后二”
-------------“先二后一”
柱面坐标
，
球面坐标
应用
曲面的面积：
第十一章 曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
定义：
性质：
1）
2）
3）在上，若，则
4） ( l 为曲线弧 L的长度)
计算：
设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则
对坐标的曲线积分
定义：设 L 为面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，
.
向量形式：
性质：
用表示的反向弧 , 则
计算：
设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为
，其中在上具有一阶连续导数，且，则
两类曲线积分之间的关系：
设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，，，
则.
格林公式
1、格林公式：设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在
D 上具有连续一阶偏导数, 则有
2、为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则
曲线积分 在内与路径无关
曲线积分
在内为某一个函数的全微分
对面积的曲面积分
定义：
设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，
定义
计算：———“一单二投三代入”
，，则
对坐标的曲面积分
预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量
定义：
设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义
同理，
性质：
1），则
2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则
计算：——“一投二代三定号”
，，在上具有一阶连续偏导数，在上连续，则,为上侧取“ + ”， 为下侧取“ - ”.
两类曲面积分之间的关系：
其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。
高斯公式
高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有
或
通量与散度
通量：向量场通过曲面指定侧的通量为：
散度：
斯托克斯公式
斯托克斯公式：设光滑曲面 ? 的边界 ?是分段光滑曲线, ? 的侧与 ? 的正向符合右手法则, 在包含? 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
环流量与旋度
环流量：向量场沿着有向闭曲线?的环流量为
旋度：
第十二章 无穷级数
常数项级数
定义：
1）无穷级数：
部分和：，
正项级数：，
交错级数：，
2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散
3）条件收敛：收敛，而发散；
绝对收敛：收敛。
性质：
改变有限项不影响级数的收敛性；
级数，收敛，则收敛；
级数收敛，则任意加括号后仍然收敛；
必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）
审敛法
正项级数：，
定义：存在；
收敛有界；
比较审敛法：，为正项级数，且
若收敛，则收敛；若发散，则发散.
比较法的推论：，为正项级数，若存在正整数，当时，，而