实数的连续性.doc

第四章 实数的连续性
极限理论问题首先是极限的存在问题。一个数列是否极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在的数集有关。如果在有理数集上讨论极限，那么单调有界数列就可能不存在极限。例如，单调有界数列就不存在极限，因为它的极
第四章 实数的连续性
极限理论问题首先是极限的存在问题。一个数列是否极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在的数集有关。如果在有理数集上讨论极限，那么单调有界数列就可能不存在极限。例如，单调有界数列就不存在极限，因为它的极限不是有理数。从运算来说，有理数集关于极限运算不封闭。即有理数列的极限不一定还是有理数。如果在实数集上讨论极限，情况就好得多。这对任何单调有界数列都存在极限，即§。从运算来说，实数集关于极限运算是封闭的。这个性质就是实数的连续性。实数的连续性是实数集有别与有理数集的重要特征，是实数集的优点。因此将极限理论建立在实数集之上，极限理论就有了巩固的基础。描述实数的连续性有多种不同的方法，本章是在§，证明与公理等价的其它几个关于实数的连续性定理。实际上，这几个定理，可任选一个作为公理，然后推出其它定理。
§ 实数的连续性定理
闭区间套定理
定理1 设有闭区间列满足:
(1);
(2).
则.
用公理证明闭区间套定理。由条件知数列单调增加有上界，数列单调减少有下界。
关于这个定理作两点说明：
要求闭区间这个条件是重要的，若为开区间列，则定理的结论不一定成立。如：
，显然有,
但 。
如果开区间列是严格包含：，且，则定理的结论还是成立的。
若，但，此时有。
此定理给出通过逐步缩小范围，找出所求点的一种方法。例如下面的确界定理，就可用此定理来证明。
二．确界定理
定义1 设是非空数集，若，且
（1）；
（2）。
则称是数集的上确界，表为。
定义2 设是非空数集，若，且
（1）；
（2）。
则称是数集的下确界，表为。
例1 ，则。
例2 ，则。
例3 是定义在=上的有界函数，
证明：
例4 设，则。
例5 开区间与闭区间这两个数集有相同的下确界与上确界。
例6 不存在，。
例7 整数集无上、下确界。
从上面的例子看到，有限集必有上、下确界，而且上、下确界都属于该数集，即最大数与最小数。无限集不一定存在上、下确界，如果存在，也不一定属于该数集。
由确界的定义知，有上（下）确界的数集，一定有上（下）界，反之，我们有
定理2 （确界定理）若非空数集有上（下）界，则数集存在唯一的上（下）确界。
证法：用闭区间套定理将所要找的数集的上（下）确界“套”出来。
确界定理也是实数连续性的一种描述。有些教科书把它作为公理，首先提出来。
一般来说，在一个有界数集上要想找到与该数集有特殊关系的数（上、下确界）要用确界定理。
三．有限覆盖定理
设I是一个区间（或开或闭），并有开区间集S（S的元素都是开区间，开区间的个数可有限，也可无限）。
定义3 若，有，则称开区间集S覆盖了区间I。
例1 ，覆盖了，但中找不出有限个开区间将它覆盖。
例2 ，覆盖了，且