高中数学竞赛知识点整理.docx

不等式块
.排序不等式（又称排序原理）
设有两个有序数组 a1 a2an及b1 b2bn.
则 aib a2b2anbn （同序和）
a1bj1 a2bj2anbjn （乱序和）
aibn a2bn ianbi （逆序和）
其中c a) 6abc
评述:
(1)本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母，不等式不变)
,在因式分解或
配方时，往往采用轮换技巧 .再如证明a2 b2 c2 ab bc ca时，可将a2 b2
一一 .1_222 22_
(ab bc ca)配万为 一[(a b) (b c) (c a)],亦可利用 a b2ab,
2
b2 c2 2bc,c2 a2 2ca , 3式相加证明.(2)本题亦可连用两次基本不等式 获证.
：显然不等式两边为正，且是指数式，故尝试用商较法^
a b
不等式关于a,b,c对称，不妨a b c,则a b,b c, a c R ,且一，一， b c
旦都大于等于1.
c
评述：(1)证明对称不等式时，不妨假定n个字母的大小顺序，可方便解题
(2)
本题可作如下推广：若
ai
0(i 1,2,,n),则 a；a2a2
anan
(a^
a1 a2an
an) 一n—
(3)
本题还可用其他方法得证。
aabbabba,同理
c b c a
b c ,c a
cc, 4式相乘即得证.
(4)设 a b c 0,贝Ulga lg b
lg lg a
blg b alg b
blga,类似例4可
证 alg a blg b clg c
algb
blg c clg a alg c
blg b clg ，一般地有排
序不等式（排序原理）：
设有两个有序数组
a2
an,b1 b2
bn,贝ijaibia2b2
anbn (顺
序和）
aibji
a2bj2
anbj
（乱序和）
ah
ah 1
anbi
（逆序和）
其中j1,
j2,,jn是1,2, ,
an或
b1b2
bn时等号成立.
排序不等式应用较为广泛（其证明略）
,它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数
组的积的形式
a2 b b
2 a a;一 b
b2
:
不妨设
b2
b2
中间式子中每项均为两个式子的和,
将它们拆开，再用排序不等式证明
c,则 a2b2
2 1
c ,- c
b2
b2
（逆序和）
b3
b
c3及工 bc
b2
（逆序和）
两式相加再除以
：不等式右边各项
设 bi,b2,
b2
2,
（乱序和）
（乱序和）
即得原式中第一个不等式
.再考虑数组
ac
ai
ab
,仿上可证第二个不等式
1
—；可理解为两数之积，尝试用排序不等式
i
,bn是a1，a2, , an的重新排列，满足 b〔 b?
1
32
1
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