《高等代数》数学实验
(实验三)
整数的整除性
问题提出
整数的整除性理论,是数学的基础知识,在中学数学中占有重要的地位,在《高等代数》中,有很多内容要用到它。《高等代数》中引进了带余除法、最大公因数、最小公倍数、素数及互素等概念。是多项式整除理论的基础。
实验目的
1、了解整数的整除理论和常用方法;
2、学会用Mathematica求解整数的整除、最大公因数、最小公倍数及整数的互素等问题。
预备知识
1、带余除法
2、最大公因数
3、最小公倍数
4、互素
5、最大公因数的必要条件
6、整数互素的充要条件
前进
1、整数的带余除法
设a,b是整数,且a≠0,那么存在一对整数q和r,使得
b=aq+r 且 0≤r≤,
满足以上条件的整数q和r是唯一确定的。
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2、最大公因数
设 a,b 是两个整数,满足下列条件的整数 d 叫做 a 与 b 的一个最大公因数。
(1)d |a 且 d |b;
(2)如果c z,且c|d,c|b,那么c|d。
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3、最小公倍数
设a,b是两个整数,满足下列条件的正整数m叫做a与b的一个最小公倍数:
(1)a|m 且 b|m;
(2)如果h z,且a|h,b|h,则m|h。
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4、互素
设a,b是两个整数,如果
(a,b)=1,
则称a与b互素。
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5、最大公因数的必要条件
若d是整数a,b的一个最大公因数,那么存在整数u,v使得
ua+vb=d。
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6、整数互素的充要条件
整数a,b互素,当且仅当存在整数 u,v 使得
ua+vb=1。
7、任何大于1的整数都可写成
一些素数的乘积。
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