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高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
（一） 向量及其线性运算
1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、线性运算：加减法、数乘；
空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4p其中”,-为l的方向角。
dxy y
Idd
梯度：z= f (x,y),则 gradf (x°,y°)= fx(x°,y°)i + fy(x°,y°)j。
Li
, Z , Z , 全微分：设z= f(x,y)…dz=-dx+—dy x 二 y
性质
函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:
2、 闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）
3、 微分法
定义：u x
复合函数求导：链式法则 Z
若 z= f (u,v),u = u(x, y),v = v(x, y),则 v y
z z :u z :v z z :u :z :v
ir w
方x cu dx 6V dx ' cy cu cy cv cy
隐函数求导：，然后解方程（组），
（三） 应用
1、 极值
1） 无条件极值：求函数 z = f （x, y）的极值
fx
解方程组
fy
0
0求出所有驻点，对于每一个驻点 （％, y0）,令
A= fxx(x0,y。)，B = fxy(xo,yo) , C = fyy(xo,y。)，
①若AC - B2 > 0 , A > 0,函数有极小值，
若AC - B2 > 0 , A < 0,函数有极大值；
②若AC - B2 ■< 0 ,函数没有极值；
③若AC 一 B2 = 0 ,不定。
条件极值：求函数 z= f （x, y）在条彳中（x, y） = 0下的极值
令：L(x, y) = f (x, y) + 儿中(x, y)——Lagrange 函数
Lx =0
L = 0
解方程组 Ly 0
(x,y) = 0
几何应用
曲线的切线与法平面
x = x(t)
曲线 : y = y(t) z = z(t)
M (x0,y0,Z0)(对应参数为
切线方程为:
x - x0 y- y0
x(t。) y(t。)
z- Z0 z(t。)
法平面方程为：x (t0)(x- x0)y (t°)(y - y0) z (t°)(z- z0) = 0
曲面的切平面与法线
曲面-
F (x, y, z) = 0 ,则工上一点M (x0,y0,z0)处的切平面方程为:
法线方程为:
x 一 x0
Fx(x0,y0,z。)
_ y- v。
I ' Fy(x0,y0,z0)
z- z0
Fz(x0,y0,z0)
第十章重积分
(一)二重积分
n
1、定义："f (x, y)d。=四£ ”，，，)△%
D' k =1
性质：(6条)
几何意义：曲顶柱体的体积。
计算：
1)直角坐标
X型区域:
D = (x, y)
；(x)£ y":(x)
a - x - b
丫型区域:
二(x, y)
i(y尸
x - 2(y) y - d
*交换积分次序（课后题）
2） 极坐标
（二） 三重积分
n
1、定义：HJf （x,y,z）dv = lim £ "，"，，）"
11’簿 k=i
性质：
计算：
直角坐标
J(x,y, z)dv =
Z2(x,y)
Ddxdy zi(x,y)
f (x,y,z)dz
J (x, y,z)dv
b
dz
a D z
f (x,y,z)dxdy
投影法“先一后二
I I
截面法“先二后一 ”
柱面坐标
x 二：cos 1
.. f / \ X \11 i 1* I
|// 丁。Q ：
1y - p sin 9 仃1夏 f (x, y, z)d v = ”〕建 f (p cos9 , p sin9 , z)pdpd0 dz z = z
3）*球面坐标*
(三)
应用
曲面S: z = f(x,y),(x,y) D的面积：
第十一章曲线积分与曲面积分
(一)对弧长的曲线积分
n
1、定义：1f (x, y)ds= UmJ fdiJi — s i n
性质：
1)[二 f(x, y) ： (x, y)]ds =: f(x, y)ds : g(x, y)ds.
I—I—
2) f(x, y)ds= f (x, y)ds f (x, y)ds. (L = L L2). LL1L2
3)在 L上，若 f (x, y1 g(x,y),则 \f(x,y)dsM ILg(x