利用均值不等式求最值.docx

利用均值不等式求最值
高考要求：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平■均数不小丁它们的几何平■均数的定理，并会应用求最值.
考查形式：.
以解答题形式考查求函数最值问题.
一、回
利用均值不等式求最值
高考要求：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平■均数不小丁它们的几何平■均数的定理，并会应用求最值.
考查形式：.
以解答题形式考查求函数最值问题.
一、回归课本a>0,b>0时，称为a,b的算术平均数；称为a,b的几何平■均数.
定理1如果a、b^R,那么a2+b22ab（当且仅当时取堂”号）定理2如果a、庭r+,那么号>（当且仅当a=b时取冬”号）即两个数的算术平■均数不小丁它们的几何平■均数.
、y*R+,x+y=P,xy=：
⑴如果S是定值，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值.（积定和最小）⑵如果P是定值，那么当且仅当x=y时，xy有最大值.（和定积最大）二、引例：下列问题的解法是否正确，如果错误，请指出错误原因.
c（I）.求函数y=x+—（x"0询值域.
x解：二’y=x+1芝2、jx1=2二y=x+l的值域为12,*°）x,xx错误原因：不满足各项为正数正解：当x》。时，y=x+1芝2^x1=2,当且仅当x=1即x=1时，<0时，—xA0,—1A0.・.（―x）+（—1）占2,二y=x+12,当且仅当x=-即x=—1时，等号xxxx成立
」c3（2）已知0<x〈一，求函数y=x（3—2x）的最大值.
2
.1一3x3-2x23-x2
解：,0<x<2，,LxA0,3—2x>0,y=x（3—2x）^（—:——）=（七厂）二函数无最大值错误原因：不满足和为定值正解：0：x：3,.x0,3-2x0,y=x(3-2x)=12x(3-2x)三1(丝3—火)2=922289
当且仅当2x=3-2x，即x=—时，等号成立，二函数最大值为一8
2一..1......
(3).求函数y=/x^4^的最小值.
x24解「后4>0,焉>0,”=后;+二x42』x4二函数的最小值为2错误原因:
x2*4=7^^不可能成立
、X4
正解：利用函数的单调性求解。
小结：使用均值不等式求最值的条件：一正（各数为正数）二定（和或积为定值）三相等（等号在允许的取值范围内能取到）
三、例题讲解：《导与练〉〉P80例2
11…一.
例2（2）错解：xa0,y>0二1=x+y芝2《xyxy苴耳，当且仅当x=y=?时等号成立
乂'+—芝2芝2J164=16,当且仅当—=—，即x=—,y=—时，等号成立。
xyxy55
xy
错解的原因：使用了两次均值不等式，但是等号成立的条件却不能同时满足。
小结：使用均值不等式求函数最值的变形技巧：添常数、配系数、“1”的代换、拆项、分离
变量（分式型）
课堂练习：《导与练〉〉P80变式训练2-1
4
补充：1、设XA—1,求y=x+6+的最值。
X1
解：X-1,.=x1—5_2.(x1)45=45=9
X1X1
44
当且仅当X十1=，即X=1时，等号成立，所以y=x+6+