微积分总复习.docx

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微积分总复习
总复习（一）
知识间的关系：
研究对象：函数 初等函数
研究方法：极限 数列的极限
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微积分总复习
总复习（一）
知识间的关系：
研究对象：函数 初等函数
研究方法：极限 数列的极限
函数的极限
微
积 连续 一元函数连续
分 多元函数连续
导数
一元函数
微分
微分学 偏导数
研究内容 多元函数
全微分
积分学 不定积分 二重积分
牛顿-莱不尼兹 三重积分
定积分 推广 曲线积分
曲面积分
二．几个概念的比较
不定积分与定积分的比较
区别：
不定积分：全体原函数的集合
定积分：常数，曲边梯形面积的代数和
联系：
2．定积分与二重积分的比较
①定积分：曲边梯形的面积
②二重积分：曲顶柱体的体积
共同点：
它们都是一个常数，只与被积函数，积分区间（区域）有关，与积分变量的选取无关。
联系：二重积分转化成二次积分求解。
3．偏导数、全微分、极限的关系
（补充）注：二元函数可微 所有的偏导数必存在，但偏导数不一定连续。
各种关系图：
极限 偏导数存在
存在 连续 可微
偏导数连续
4．二重积分中直角坐标系与极坐标系的比较
注：直角坐标与极坐标的选取规律：
由积分区域D的形状：成圈的
圆形、圆环、扇形、成近似圆形，近似环形，近似扇形。
2．由被积函数的形式：被积函数中含有，即,
5．微分方程中，可分离变量的微分方程，一阶微分方程，二阶微分方程之间的关系。
（1）可分离变量的一阶微分方程
i）
ii）齐次微分方程
作变量代换
（2）一阶线性微分方程
形如
①一阶线性齐次微分方程（分离变量求解）
②一阶线性非齐次微分方程（常数变易法）
（3）二阶线性微分方程
①
两次积分
② ③
作变量代换 作变量代换
三．计算主要题型
计算思路连接
无穷区间上广义积分
转化 推广转化 水平延伸：无穷区间
二重积分转化 定积分 推广 有瑕玷的广义积分
利用 利用 转化 纵向延伸：无界函数
对称性，几何意义 转化
函数，区间（区域对称）
不定积分