求数列通项公式的十一种方法.docx

求数列通项公式的十一种方法〔方法全,例子全,归纳细〕
总述：：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法〔逐差法〕、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法〔目的是去递推关系式边分别相乘得,
an1
a1
f(k)
例4数列
{an}满足an
2(n
1)5n
an,
3,求数列｛an｝的通项公式.
解：由于an1
2(n
1)5n
an,
a1
3,所以an
,那么皿12(n1)5n,故an
an
an
an1
an1
an2
[2(n
L曳生
a2&
1)5n1][2(n
2n1[n(n
32n1
1)L32]5
n(n1)
52n!
1)5n2]L
(n1)(n2)L
[2(2
213
21
1)52][2(11)51]3
n(n1)
5丁
n!.
,且
22
an1nanan1an0(n=1,2,3,…),
那么它的通项公式是an
解：等式可化为:
(an1an)(n
1)an
nan0
an1n
0(n
(n+1)an1nan
an
2时,
an
an1
an2
ai
评注:
此题是关于an和an1的二次齐次式,可以通过因式分解(一般情况时用求根公式)得到
an与an1的更为明显的关系式,从而求出an
,求数列｛an｝的通项公式.
答案：an(n1)!(a11)-1.
评注：此题解题的关键是把原来的递推关系式an1nann1,转化为
an11n(an1),假设令bnan1,那么问题进一步转化为bn1nbn形式,进而应用累乘法求
出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于an1qanf(n)
根本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一
个函数.
an1cand,(c0其中a1a)型
(1)假设
C=1时,数列｛③｝为等差数列；
(3)假设c1且d
0时,数列｛an｝为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列
待定系数法：设
c(an
得an1
can
(c
1)
,与题设
an1can
d,比拟系数得
(c1)
d,所以
d
——,(c
c1
0)
所以有:
d
an——c(an
c1
六)
因此数列
所以
an
规律:
将递推关系
1构成以
(a1
an1
1为首项,以c为公比的等比数列,
{an
列
can
即:
an(a1
d\n1d
——)c——
c1c1
d化为
n1/
c(a1
c(an-d-)……
c1,构造成公比为c的等比数
六)
逐项相减法(阶差法)：有时我们从递推关系
an1cand中把n换成n-1有ancan1d
两式相减有an1anc(anan1)从而化为公比为c的等比数列｛an1an｝,进而求得通项公式.
an1ancn(a2a",再利用类型(1)
例6数列｛%｝中,a11,an2an11(n2),求数列an的通项公式.
解法一：Qan2an11(n2),
an12(an11)
又Qa112,an1是首项为2,公比为2的等比数列
解法二：Qan2an1
an12an
两式相减得an
即an2n1
1(n2),
1an2(anan1)(n2),故数列an1an是首项为2,公比为2的等
比数列,再用累加法的
｛an｝中,
2,an1
11
7an二,a
22求通项an
/1\n1
an仁)1
答案：2
2,形如：an1Pan
qn
(其中
q是常数,且n0,1)
①假设P=1时,即：an1
②假设P1时,即：an
an
qn,
求通项方法有以下三种方向:
i.
两边同除以
n1

an1
n1
即：p
h2
bnn
令P
bn1bn
,那么
-(-)n
pq,然后类型1,累加求通项.

目的是把所求数列构造成等差数列.
即:
an1
n1