《微商的应用》.ppt

第3章 微商的应用
重点：求极值
难点：证明等式或不等式
微商的应用
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微分中值定理
函数的极值与费马(Fermat)引理
函数极值的直观描述如图.
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费马函数为Q(p) = 75  p2, p为价格. 求 p = 4时的边际需求与需求弹性,并说明其经济意义.
其经济意义是,当价格从 p = 4上涨到 p = 5时,需求量会减少8个单位.
其经济意义：需求变动的幅度小于价格变动的幅度.
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收益弹性分析
例 设某产品的需求函数为Q(p) = 75  p2, p为价格. 当 p = 4, 6时, 若价格 p 上涨1%,总收益将变化百分之几？ p为多少时,总收益最大？
因此,当p=4时,价格p上涨1%,%；当p=6时,%.
因此,当 p = 5时,总收益最大.
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相关变化率
如果变量 y 与变量 x 之间的关系由方程 f (x, y) = 0所确定,则将变量 x, y 都当作变量 t 的函数,方程 f (x, y) = 0两边对变量 t 求微商.
练习 (P150例6)
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洛必达(L’Hospital)法则
洛必达法则
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洛必达法则应用举例
⑴⑵⑶运用洛必达法则比第1章的方法简单.
对⑷⑸⑹的结果要有一个印象, 即x  sinx, tanx  x, x  arctanx都与x3是x→0时的同阶无穷小.
⑺⑻说明x→∞时指数函数远远快于幂函数,幂函数远远快于对数函数.
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洛必达法则注意事项
⑴ 在应用洛必达法则前,首先要检验条件是否满足.
⑵ 洛必达法则可以连续使用.
⑷ 洛必达法则完全失效的例子.
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洛必达法则的证明
柯西(Cauchy)中值定理 若函数 f (x), g(x)
⑴ 在闭区间[a, b]上连续，
⑵ 在开区间(a, b)内可微，
则在(a, b)内至少有一点 ,使得
注意：① 当 g(x) = x时,即得拉格朗日中值定理；
结论可写成
洛必达法则的证明(P158)
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其他类型不定式的极限
练习 求下列极限.
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结合等价无穷小与初等变形求极限
例 求极限  cot2x .
lim
x→0
1
x2
解 原式 =
lim
x→0
tan2x  x2
x2tan2x
lim
x→0
tanx  x
x3
=
x2
tan2x
tanx + x
x
·
·
lim
x→0
tanx  x
x3
=
· 2
lim
x→0
sec2x  1
3x2
= 2
lim
x→0
2sec2x tanx
6x
= 2
2
3
=
例 求极限
解 原式 =
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1∞型的初等变换
例 求极限
lim
x→0
sinx
x
1
x2
解 因为
lim
x→0
x  sinx
x3
lim
t→0
1  cosx
3x2
=
lim
t→0
sinx
6x
=
1
6
=
所以 原式 = 1 +
lim
x→0
sinx  x
x
sinx  x
x3
x
sinx  x
= 1 +
lim
x→0
sinx  x
x
x
sinx  x
lim
x→0
sinx  x
x3
= e 1/6
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涉及幂指函数的微商
例 求极限
lim
x→0
(1 + x)  e
x
1
x
ln f (x) =
ln (1 + x)
x
因此,原式 = e
lim
x→0
x  (1 + x)ln (1 + x)
x2
= e
lim
x→0
 ln (1 + x)
2x
= 
e
2
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结合变量替换求极限
为了利用 x→0 时的等价无穷小,当所求极限是 x →a 时可作变换 u = x  a,把问题变成 u →0的形式. 当 x →∞时可用变换 u = 1/x.
另外根据具体的问题,也可作其它一些变换.
例 求极限
lim
x→0
[sinx  sin(sinx)]sinx
x4
解 原式 =
lim
x→0
sinx  sin(sinx)
sin3x
sin4x
x4
·
lim
t→0
t  sint
t3
=
lim
t→0
1  cost
3t2
=
lim
t→