(同济大学)高等数学课件D91二重积分概念.ppt

(同济大学)高等数学课件D91二重积分概念
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同
(2) 所求量的结构式相同
“大化小, 常代变, 近似和,取极限”
曲顶柱体体积:
平面薄片的质量:
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同
(2) 所求量的结构式相同
“大化小, 常代变, 近似和,取极限”
曲顶柱体体积:
平面薄片的质量:
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二、二重积分的定义及可积性
定义:
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
可积 ,
在D上的二重积分.
积分和
积分域
被积函数
积分表达式
面积元素
记作
是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
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引例1中曲顶柱体体积:
引例2中平面薄板的质量:
如果 在D上可积,
也常
二重积分记作
这时
分区域D ,
因此面积元素
可用平行坐标轴的直线来划
记作
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二重积分存在定理:
若函数
定理2.
(证明略)
定理1.
在D上可积.
限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,
积.
在有界闭区域 D上连续,
则
若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
例如,
在D :
上二重积分存在 ;
在D 上
二重积分不存在 .
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三、二重积分的性质
( k 为常数)
 为D 的面积, 则
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特别, 由于
则
5. 若在D上
6. 设
D 的面积为 ,
则有
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7.(二重积分的中值定理)
证: 由性质6 可知,
由连续函数介值定理, 至少有一点
在闭区域D上
 为D 的面积 ,
则至少存在一点
使
使
连续,
因此
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例1. 比较下列积分的大小:
其中
解: 积分域 D 的边界为圆周
它与 x 轴交于点 (1,0) ,
而域 D 位
从而
于直线的上方, 故在 D 上
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例2. 判断积分
的正负号.
解: 分积分域为
则
原式 =
猜想结果为负
但不好估计 .
舍去此项
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例3. 估计下列积分之值
解: D 的面积为
由于
积分性质5
即:  I  2
D
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8. 设函数
D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
在 D 上
在闭区域上连续,
域D 关于x 轴对称,
则
则
有类似结果.
在第一象限部分, 则有
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四、曲顶柱体体积的计算
设曲顶柱的底为
任取
平面
故曲顶柱体体积为
截面积为
截柱体的
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同样, 曲顶柱的底为
则其体积可按如下两次积分计算
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例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为
则所求体积为
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内容小结
1. 二重积分的定义
2. 二重积分的性质
(与定积分性质相似)
3. 曲顶柱体体积的计算
二次积分法
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被积函数相同, 且非负,
思考与练习
解:
由它们的积分域范围可知
1. 比较下列积分值的大小关系:
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2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 < y <1, 则
的大小顺序为 ( )
提示: 因 0 < y <1, 故
故在D上有
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