10-2二重积分的计算法.ppt

10-2二重积分的计算法
适用于年终总结/工作计划/述职报告/策划方案等
2020
此时我们称积分区域 D 为X - 型区域．
积分区域 D 称为Y - 型区域．
那么
若 D 为如图所示区域，
从而有
则必须将它分10-2二重积分的计算法
适用于年终总结/工作计划/述职报告/策划方案等
2020
此时我们称积分区域 D 为X - 型区域．
积分区域 D 称为Y - 型区域．
那么
若 D 为如图所示区域，
从而有
则必须将它分割．
特别地，若 D 为矩形区域：
如果此时还有
解
先画出积分区域D 的图形，
再根据 D 的图形选择积分次序，
求出区域边界的交点坐标．
方法一、将二重积分化为先对 y，再对x 的二次积分．
将二重积分化为二次积分，
方法二、将二重积分化为先对 x ，再对y 的二次积分．
由此例可知，二重积分计算的难易程度与二次积分
积分区域的形状是选择积分次序的因素之一．
的积分次序的选择有关．
解
解
方法一、将二重积分化为先对 y ,
方法二、将二重积分化为先对 x , 再对 y 的二次积分．
所以被积函数的特点是选择积分次序的因素之二．
(×)
再对 x 的二次积分．
解
根据二次积分的积分限，
画出对应的二重积分的积分区域，
解
根据二次积分的积分限，
画出对应的二重积分的积分区域，
解
解
解
先去掉绝对值，如图
或者利用对称性
解
二、极坐标计算法
首先我们介绍极坐标系
设积分区域为 D ，
在极坐标系下，我们用
将积分区域为 D 任意分成
则每个小区域的面积
所以极坐标系下面积元素
从而在极坐标系下二重积分
可表示为
极坐标系下积分区域的面积
曲线
n 个小区域
下面我们介绍在极坐标系下怎样将二重积分
化为二次积分．
如果积分区域如图所示
则
同理如果积分区域如图所示
也有
如果区域如图所示
则
如果区域如图所示
则
解
(1) 在直角坐标系下
(2) 在极坐标系下
解
例11
解
例12
解
例13
解
解
例15
解
解
此积分在直角坐标系下不能计算.
解
即有
从而有
如积分区域为圆形、扇形、圆环 等，
一般地，如果积分区域的边界方程用极坐标表示
比较方便，
且被积函数含有
可考虑用极坐标计算法．
(A)
(B)
(C)
(D)
解
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